歯車

中学入試でときどき出される歯車の問題です。

4つの歯車A、B、C、Dがあります。

図のように歯車AとB、CとDはそれぞれかみ合っています。
また、BとCは同じ軸に取り付けられていて、すべることなく一緒に回ります。
A、B、Cの歯数はそれぞれ68、48、27で、Aが11回転するときDは7¹⁹⁄₂₄回転します。
このとき、Dの歯数は［イ］です。

かみ合っている歯車どうしは「歯数×回転数」が等しいこと、したがって回転数の比と歯数の比は逆比の関係にあることを使うと

歯数の比は A：B＝68：48＝17：12 だから回転数の比は歯数の逆比でA：B＝12：17
「BとCは同じ軸に取り付けられて¹⁸⁷⁄₂₄」いるからBとCの回転数は同じ。とすると回転数の比はA：C＝12：17
したがって「Aが11回転するとき」Cは 11÷12×17＝¹⁸⁷⁄₁₂回転する。このとき「Dは7¹⁹⁄₂₄回転」＝¹⁸⁷⁄₂₄回転するから、CとDの歯数の比は回転数の逆比でC：D＝¹⁸⁷⁄₂₄：¹⁸⁷⁄₁₂＝1：2

よってCの歯数27よりDの歯数イは 54

「Aが11回転するときDは7¹⁹⁄₂₄回転」＝¹⁸⁷⁄₂₄回転するから回転数の比は A：D＝11：¹⁸⁷⁄₂₄＝24：17。

よってAとDの1秒あたりの回転数を考えて

(5÷3)：(12÷ウ)＝24：17 より 12×24÷ウ＝5×17÷3 だから

ウ×5×17＝3×12×24 よりウ＝⁸⁶⁴⁄₈₅秒

かみあっている歯車どうしは「歯数×回転数」が等しい。

「歯車Aとかみあっている歯車」を歯車Bとし、歯車Bの歯数を▢とすると

したがって 24×6＝▢×8 より、いまBの歯数▢は18

そして「Aの回転する速さが2倍になったとき」には（「回転する速さ」とは回転数と同じことだから）Aの「歯数×回転数」も2倍になるので

のどちらかだが「かみあっている歯車の回転する速さを変えない」＝Bの回転数は変えないのが条件なのでBの歯数を2倍にすればよい。

よって歯数が2倍の36の歯車に変えればよい

となり合った歯車は反対の向きに回るから

となるのでDは反時計回りとなる。

つぎにAが1回転するときの回転数を考えると

歯数の比はA：B＝75：25＝3：1だから回転数の比はA：B＝1：3→Aが1回転するとBは3回転する
「BとCは同じ軸にとりつけられていて同じ回転」をする→Bが3回転するとCも3回転する
したがってかみ合っている歯車どうしは「歯数×回転数」が等しいから、歯数90のCが3回転するとき「Dの歯数が45」だから90×3÷45＝6よりDは6回転する

よってDはアの向きに6回転する。

小問⑴のDと比べながら考えると

小問⑴でわかったのはAの歯数75、Dの歯数45のとき、Aが1回転するとDは6回転するということ。このときAが3回転するとDは18回転する
これに対して小問⑵では「Aが3回転すると同時にDが15回転する」。Aが3回転したときの回転数の比をみると小問⑴：小問⑵＝18：15＝6：5だから歯数の比は回転数の逆比で5：6

よって 45÷5×6＝54

小問⑴のAと比べながら考えると

小問⑴でわかったのはAの歯数75、Dの歯数45のとき、Aが1回転するとDは6回転するということ。このときDが225°回転するとAは225÷6＝37.5°回転する
これに対して小問⑶では「Dの歯数が72」。歯数の比をみると小問⑴：小問⑶＝45：72＝5：8だから回転数の比は歯数の逆比で8：5

よってAが回転するのは 37.5×8÷5＝60度