以前の記事の続きです。
定番の色のぬり分け問題の第7弾です。
3か所を3色以下でぬる（岐阜聖徳学園大学附属2023）
赤、青、黄の3色の色えんぴつがあります。下の図の(ア)〜(ウ)のすべてに色をぬるとき、何通りのぬり方があるか求めなさい。ただし、となり合うところは違う色でぬるようにし、使わない色があってもよいこととします。
「となり合うところは違う色でぬる」から3色でぬる場合と2色でぬる場合を考えることになる。
- 3色でぬる場合…アの色の選び方が3通り、イが2通り、ウが1通りあるから 3×2×1＝6通り
- 2色でぬる場合…アとイを何色でぬるかだけ考えればよい（ウはアと同じ色に自動的に決まる）から 3×2＝6通り
よって 6+6＝12通り
4か所を3色でぬる（共立女子第二2023第2回午後）
赤、青、黄の3色すべてを使って、となり合う部分が同じ色にならないように下図をぬり分けます。ぬり方は全部で何通りありますか。
同じ色をどこか2か所で使う必要がある。
- たとえばアとウを同じ色にするとき、ぬり方は「アとウ」、イ、エの3か所に3色をぬるぬり方だから 3×2×1＝6通り
- 同じようにアとエを同じ色にするとき、イとエを同じ色にするときもそれぞれ6通りずつある。
よって 6+6+6＝18通り
4か所を4色以下でぬる（東京都市大等々力2023）
赤、黄、緑の3色のうちいくつかの色を使って図の4つの四角形を塗り分けます。ただし、辺が重なり合う2つの四角形には異なる色を塗ることとします。次の問いに答えなさい。
⑴ Aに赤を塗ったとき、残りのBとCとDの塗り方は何通りありますか。
❶3色ぜんぶ使う場合と❷2色だけ使う場合に分けて調べると
❶3色ぜんぶ使う場合…①「AとC」か同じ色か、②「BとD」が同じ色になる
- ①のとき…「AとC」が赤なので、あとはBとDのどっちを黄にどっちを緑にするかの2通り
- ②のとき…Aが赤なので「BとD」は黄か緑で2通り、Cは残った色に決まるので2通り
❷2色だけ使う場合…「AとC」が赤なので「BとD」は黄か緑だから2通り
よって 2+2+2＝6通り
⑵ 何も塗ってない状態から塗り始めると全部で何通りの塗り方がありますか。
Aに黄を塗ったとき、Aに緑を塗ったときも小問⑴と同じでそれぞれ6通りずつあるから 6×3＝18通り
次に色を1色増やして、赤、黄、緑、青の4色のうちいくつかの色を使って四角形を塗り分けます。
⑶ 全部で何通りの塗り方がありますか。
❶4色ぜんぶ使う場合、❷3色を使う場合、❸2色を使う場合に分けて調べると
❶4色ぜんぶ使う場合…4×3×2×1＝24通り
❷3色を使う場合…①「AとC」か同じ色か、②「BとD」が同じ色になる
- ①のとき…塗る3色の選び方が4通り。その3色を「AとC」、B、Dの3か所のどこに塗るかで3×2×1＝6通りあるから 4×6＝24通り
- ②のとき…①の考え方がそのままあてはまるから24通り
❸2色を使う場合…塗る2色の選び方が4×3÷2＝6通り。その2色を「AとC」か「BとD」かどっちに塗るかで2通りあるから 6×2＝12通り
よって 24+24+24+12＝84通り 
