以前の記事の続きです。
今年出された場合の数の問題の第2弾になります。
作ることのできる整数（関西学院中2023）
1⃣1⃣1⃣2⃣2⃣3⃣の6枚のカードの中から3枚を並べて、3けたの整数を作ります。作ることのできる整数は□通りです。
1枚ある3⃣を使う場合と使わない場合に分けて考えると
- 3⃣を使う場合…3をおく場所が3通り（3■■、■3■、■■3）、残り2か所の■は11、12、21、22の4通りで 3×4＝12通り
- 3⃣を使わない場合…すべてのケタは1か2なので百の位が2通り、十の位が2通り、一の位が2通りで2×2×2＝8通り。ただし222はできないのでこれを引いて7通り
以上の合計で19通り
道順（早稲田佐賀2023）
右のような道があります。点Aを出発して、点Pを通らずに点Bまで最短で行く道順は、□通りあります。
数字記入法により 2100通り
別解
Pを通らないとき、❶～❻のどれか1つの道を必ず通ることになるので場合分けをする。
- ❶を通るとき…A→❶が8×7÷2＝28通り、❶→Bが5×4÷2＝10通りあるので 28×10＝280通り
- ❷を通るとき…A→❷が7×6÷2＝21通り、❷→Bが6×5×4÷（3×2×1）＝20通りあるので 21×20＝420通り
- ❸を通るとき…A→❸が5×4÷2＝10通り、❸→Bが8×7×6÷（3×2×1）＝56通りあるので 10×56＝560通り
- ❹❺❻を通るとき…必ず
のある点を通ることになるのでまとめて考えると、A→が5×4÷2＝10通り、→Bが9×8×7÷（3×2×1）＝84通りあるので840通り
票の分かれ方（四天王寺2023）
A、B、C、D、Eの5人全員が、用紙にこの5人の中から1人の名前を必ず書いて投票し、最も得票数の多い人が1名だけに決まるとき、その1名が代表者となります。このときの票の分かれ方が何通りあるかを考えます。ただし、自分に投票してもよいものとします。
①得票数が3票でAが代表者となるような票の分かれ方は何通りありますか。
Aが3票とると残り2票。これをBCDEの4人で分ける分け方には（大きい順に書くと）❶（2,0,0,0）と❷（1,1,0,0）の2つのパターンがある。
❶（2,0,0,0）…ABCDの誰が2票とるかを決める決め方なので4通り
❷（1,1,0,0）…ABCDのうち1票をとる2人を決める決め方なので4×3÷2＝6通り
よって 4+6＝10通り
②Aが代表者となるような票の分かれ方は何通りありますか。
Aの得票数として最高5票から最低2票まで考えられる。場合分けをして考えると
❶Aが5票とるとき…BCDEはすべて0票の1通り
❷Aが4票とるとき…BCDEの誰か1人が1票とるときの1人の決め方なので4通り
❸Aが3票とるとき…小問⑴の10通り
❹Aが2票とるとき…BCDEのうち3人が1票ずつ、残り1人が0票だったというパターン。この0票だった1人の決め方なので4通り
以上の合計で 1+4+10+4＝19通り
③代表者が決まらないような票の分かれ方は何通りありますか。
「代表者が決まらないような票の分かれ方」として考えられるのは得票数が同じ人が2人以上いるとき（だけ）。これは❶5人全員が1票だったときと、❷2票の人が2人いたときとの2つのパターンに限られる。
❶5人全員が1票だったとき…1通り
❷2票とった人が2人いたとき…ABCDEの5人から、2票をとった2人と、1票だった1人を決める決め方。2票の2人の決め方が 5×4÷2＝10通り、残り3人から1票の1人を決める決め方が3通りあるから、10×3＝30通り
以上の合計で31通り 
