久しぶりにレッスンに行った

きょうは市内の中学校のオーボエのレッスンに行ってきました．

きょうはお題はカルテット．

まだ一回も合わせたことが無いというので，ちょっと実験．

４小節だけでもあわせられたら楽しいじゃん，と言って結局８小節くらいやった．

これで曲のイメージはつかめたと思う．

あとは，フォームを矯正．

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コラッツの木から予測できること

コラッツの木から予測できること

(1) 3･2^N-1または9･2^N-1は3で割り切れないので，3倍して1を足して3･2^N，9･2^Nとなる整数はない．言い換えると3･2^N，9･2^Nに入る列は存在しない．

(2) 同様に32･4^N=22^N+5に入る列は存在しない．

(3) 16･4^N=22^N+4に入る列が存在する．すなわち，22^N+4に到達すれば必ず1に到達する．

(!!!) 以上のことから，一般に次のことが言える．

Proposition1 p-1が3の倍数であれば，p･4^N-1も3の倍数である．従ってp･4^Nに入る列が存在する．（pは素数とは限らない．念のため...）

（証明）p-1が3の倍数であれば，p-1=3m（mは整数）と書ける．p=3m+1なので， p･4^N-1=(3m+1)･4^N-1=3m･4^N+4^N-1=3m･4^N+22^N-1 =3m･4^N+(2^N)2-1=3m･4^N+(2^N-1)(2^N+1) ･･･(A) 
ここで，2^N-1，2^N，2^N+1は連続する3個の整数だが，2^Nは3の倍数ではないので，2^N-1，2^N+1のいずれか一方が3の倍数である．従って(A)で(2^N-1)(2^N+1)は3の倍数，また3m･4^Nも3の倍数． 故にp･4^N-1は3の倍数である．

これは合同式を用いれば少しスマートになる：

Proposition1' p≡1 (mod 3)ならばp･4^N≡1 (mod 3)
（証明） (mod 3) を省略する． p≡1 の両辺に4^Nをかけると，p･4^N≡4^N． p･^N=4^N-1+1=(2^N-1)(2^N+1)+1で，(2^N-1)(2^N+1)は3の倍数なので， p･4^N≡1 ．

　証明が少し長くなったが，ある項に入る他の列があるとすれば，これは1個置きに現れる．たとえば，列5,10,20,40,80,160，･･･では10,40,160,･･･に他の列からの合流が存在する．

いくつかの性質：はじめてa(k)=1となるときのkをL(n)で表すことにするとき， n≡4 (mod 8) ．すなわちn=8k+4 のとき，L(n)=L(n+1)．

(証明) n=8k+4 とすれば，a(4)=3k+2．また，n+1=8k+4+1=8k+5 としても a(4)=3k+2．

Proposition2 n≡4+8j (mod 2^N) ，すなわちn=2^N･k+4+8j のとき，L(n)=L(n+1)． ただしj，^Nは正の整数で4+8j< 2^N．

（証明）n=2^N･k+4+8j とすれば，a(4)=3･2^N-2･k+4+6j．また，n+1=2^N･k+4+8j+1=2^N･k+5+8j としても a(4)=3･2^N-2･k+4+6j．

コラッツの木　Collatz's tree

コラッツの木　Collatz's tree

1から冒頭の漸化式（アルゴリズム）を逆にたどってみた表を作成しました．

当然枝分れするわけですが，もちろんすべてを書くことはできないので，1から26までが現れるようにしてみました．

横方向は2で割る，縦方向は3倍して1を加える操作です．

2Nはもちろん，5･2N，13･2Nなど１にたどり着く整数の条件（パターン）が見えてきます．

★1から26までの整数が出てくる範囲について作ってみました．
「横方向(←)が2倍」，「縦方向(↑)が3倍して1を加える」です．

★枝分れの様子を色分けしてみました．
やはり「横方向(←)が2倍」，「縦方向(↑，↓)が3倍して1を加える」です．

角谷の問題

コラッツの問題（角谷の問題）：数列{a(k)}を次のように定める．

a(1)=n （nは整数）･･･初項
a(k)=a(k-1)/2 (a(k-1)=偶数)
a(k)=3a(k-1)+1 (a(k-1)=奇数)

言い換えると，
a(1)=n （nは整数）･･･初項
前の項が偶数のときは2で割る
前の項が奇数のときは3倍して1を加える

このとき，a(k)=1となる整数kが存在する．
また，はじめてa(k)=1となるときのkをL(n)で表すことにする．

以下のプログラムをExcelのVisual Basic Editorにペースとして実行してください．

はじめてa(k)=1となるまでまでの数列{a(k)}を求める

Sub 角谷の問題()

Cells.Select
Selection.ClearContents
Dim n As Long

n = CInt(InputBox("n="))

Dim k As Long

k = 1

Cells(1, 1).Value = "k"
Cells(1, 2).Value = "a(k)"

Cells(k + 1, 1).Value = k
Cells(k + 1, 2).Value = n

Do While n > 1

If n Mod 2 = 0 Then
n = n / 2
Else
n =3 * n + 1
End If

k = k + 1

Cells(k + 1, 1).Value = k
Cells(k + 1, 2).Value = n

Loop

Range("A1").Select

End Sub

L(n)を求める
Sub 角谷の問題()

Cells.Select
Selection.ClearContents
Dim n As Long

n = CInt(InputBox("n="))

Dim k As Long
Dim l As Long
Dim s As Long

k = 1
s = 1

Cells(1, 1).Value = "n"
Cells(1, 2).Value = "length"

Cells(k + 1, 1).Value = k
Cells(k + 1, 2).Value = 1

For k = 2 To n

s = k
l = 1

Do While s > 1

If s Mod 2 = 0 Then
s = s / 2
Else
s = 3 * s + 1
End If

l = l + 1

Loop

Cells(k + 1, 1).Value = k
Cells(k + 1, 2).Value = l

Next k

Range("A1").Select

End Sub

VBAで素数表を作る

Excelで，Visual Basic Editor にペーストして実行してください！

Sub 素数表作成()

Cells.Select
Selection.ClearContents

Dim n As Long

n = CInt(InputBox("n="))

Dim i As Long
dim l as long
Dim k As Long
Dim s As Long

k = 1
Cells(k, 1).Value = "番号"
Cells(k, 2).Value = "素数"

k = 2
Cells(k, 1).Value = 1
Cells(k, 2).Value = 2

k = 3

For j = 3 To 2 * n - 1 Step 2

s = 0

For i = 3 To Int(Sqr(j)) Step 2

If j Mod i = 0 Then
s = s + 1
End If

Next i

If s < 1 Then
Cells(k, 1).Value = k - 1
Cells(k, 2).Value = j
k = k + 1
End If

Next j

Range("A1").Select

End Sub

ゴールドバッハの予想

ゴールドバッハの予想

すべての４以上の偶数は２個の素数の和として表すことができる．

例：４＝２＋２，６＝３＋３，８＝３＋５，１０＝３＋７＝５＋５，・・・

ゴールドバッハ (Christian Goldbach, 1690～1764)

Wiki：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%89%E3%83%90%E3%83%83%E3%83%8F%E3%81%AE%E4%BA%88%E6%83%B3

素数生成式（40個の素数が出てくる！）

オイラーの発見した式、f(n) = n² + n + 41 は、n = 0, …, 39 において全て素数となります．

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383,421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231,1301, 1373, 1447, 1523, 1601

素数入門―計算しながら理解できる (ブルーバックス)

カバリエリの原理

カバリエリの原理 Cavalieri's principle）

２つの図形A，Bで，切り口の長さの比がつねにa：bならば，A，Bの面積の比もa：bである．

体積についてのカヴァリエリの原理：
切り口の面積が常の比がつねにa：bならば，A，Bの体積の比もa：bである．

フランチェスコ・ボナヴェントゥーラ・カヴァリエーリ（Francesco Bonaventura Cavalieri、1598年 - 1647年11月30日）：イタリアの数学者

トレミーの定理

トレミーの定理（プトレマイオスの定理）

円に内接する四角形ABCDの辺と対角線について，

AB×CD＋BC×DA＝AC×BD

「向かい合う辺の長さのの積」の和＝対角線の長さの積

大学入試問題で役立つことがあります．
センター試験で「そこの空欄だけ埋めたい」ときに使えることがあります．

通常はトレミーの定理を知らなくても問題は解けるようになってます．

トレミー (Ptolemy)：
古代ギリシアの天文学者クラウディオス・プトレマイオスのことです．
プトレマイオスの定理とも呼ばれる．
↓
クラウディオス・プトレマイオス（Κλαύδιος Πτολεμαῖος, ラテン語: Claudius Ptolemaeus, 83年頃 - 168年頃）
古代ローマの天文学者・数学者・地理学者

最近，三角形に焦点をあてた本がでました．結構たのしめました！

三角形の七不思議 (ブルーバックス)