コラッツの木から予測できること

コラッツの木から予測できること

(1) 3･2^N-1または9･2^N-1は3で割り切れないので，3倍して1を足して3･2^N，9･2^Nとなる整数はない．言い換えると3･2^N，9･2^Nに入る列は存在しない．

(2) 同様に32･4^N=22^N+5に入る列は存在しない．

(3) 16･4^N=22^N+4に入る列が存在する．すなわち，22^N+4に到達すれば必ず1に到達する．

(!!!) 以上のことから，一般に次のことが言える．

Proposition1 p-1が3の倍数であれば，p･4^N-1も3の倍数である．従ってp･4^Nに入る列が存在する．（pは素数とは限らない．念のため...）

（証明）p-1が3の倍数であれば，p-1=3m（mは整数）と書ける．p=3m+1なので，
p･4^N-1=(3m+1)･4^N-1=3m･4^N+4^N-1=3m･4^N+22^N-1
=3m･4^N+(2^N)2-1=3m･4^N+(2^N-1)(2^N+1) ･･･(A)

ここで，2^N-1，2^N，2^N+1は連続する3個の整数だが，2^Nは3の倍数ではないので，2^N-1，2^N+1のいずれか一方が3の倍数である．従って(A)で(2^N-1)(2^N+1)は3の倍数，また3m･4^Nも3の倍数．
故にp･4^N-1は3の倍数である．

これは合同式を用いれば少しスマートになる：

Proposition1' p≡1 (mod 3)ならばp･4^N≡1 (mod 3)
（証明） (mod 3) を省略する．
p≡1 の両辺に4^Nをかけると，p･4^N≡4^N．
p･^N=4^N-1+1=(2^N-1)(2^N+1)+1で，(2^N-1)(2^N+1)は3の倍数なので，
p･4^N≡1 ．

　証明が少し長くなったが，ある項に入る他の列があるとすれば，これは1個置きに現れる．たとえば，列5,10,20,40,80,160，･･･では10,40,160,･･･に他の列からの合流が存在する．

いくつかの性質：はじめてa(k)=1となるときのkをL(n)で表すことにするとき， n≡4 (mod 8) ．すなわちn=8k+4 のとき，L(n)=L(n+1)．

(証明) n=8k+4 とすれば，a(4)=3k+2．また，n+1=8k+4+1=8k+5 としても a(4)=3k+2．

Proposition2 n≡4+8j (mod 2^N) ，すなわちn=2^N･k+4+8j のとき，L(n)=L(n+1)．
ただしj，^Nは正の整数で4+8j< 2^N．

（証明）n=2^N･k+4+8j とすれば，a(4)=3･2^N-2･k+4+6j．また，n+1=2^N･k+4+8j+1=2^N･k+5+8j としても a(4)=3･2^N-2･k+4+6j．