暗号理論について国際学会で発表するとき，
必ずといっていいほど，数式が出てきます．
そのときに，どうやって言うか．
日本語では簡単にいえるのに，
英語だと全く出てこない．
はい，私ですね（泣）
数式を英語で言うためのページを見つけたので，
ここにリンクを貼っておきます．
数式英語の読み方 基礎知識
今回は楕円曲線での演算について示していきましょう．
楕円曲線での演算は点と点同士の演算です．
普通の足し算・掛け算とは少し異なります．
次の図をご覧ください．
楕円曲線での演算は点と点同士の演算です．
普通の足し算・掛け算とは少し異なります．
次の図をご覧ください．
P1 * P2 から見ていきましょう．
P1 * P2 は 直線 P1P2 と 楕円曲線の交点です．
この演算を便宜上楕円乗算とします．
楕円曲線は x 軸に関して対称なので，
楕円乗算した点 P1 * P2 のy 座標の符号を反転させた点を
定義することができます．
この点を P1 + P2 と定義します．
この演算を楕円加算といいます．
P1 と P2 が重なった場合，つまり，
楕円曲線の接点となる場合は，
接線と交わる点を乗算の点とします．
こんな感じです．
楕円乗算は群を作りませんが，
楕円加算は群になります．
群をなすということは，
普通の足し算のゼロや
掛け算のイチに
相当するものはあるのでしょうか？
楕円加算では無限に遠い点Oを
普通の足し算のゼロと
同じように扱うことができます．
まず， x = (P の x 座標) のグラフ（中学校の教科書では削除されている）と
楕円曲線のもう一つの交点を P * O とします．
P * O の y 座標の符号を反転させると，あら不思議．
なんと，点 P に戻ってしまいます．
したがって， P * O は P の y 座標の符号を反転させたもの，
つまり， P の逆元と考えることができます．
また， P + O は P そのものだということができます．
これで単位元 O が存在することはわかりましたね．
結合法則は図を描いてみればわかります．
以上で，楕円加算は群をなすということがわかりました．
楕円乗算は群をなさないということもわかります．
これは，P * e = e * P = P となるような e が見つからないからです．
乗算して元にもどるようなものがありません．
図からわかります．
結合法則は満たすので，群よりももう少し範囲が大きい
半群の性質を満たします．
楕円曲線暗号についての動画です．
図形の知識もないと少々苦しいかもしれません．
楕円曲線暗号とDiffie-Hellman鍵共有を
どうやって組み合わせるかどうかについてです．
インターネット家庭教師Netty
図形の知識もないと少々苦しいかもしれません．
楕円曲線暗号とDiffie-Hellman鍵共有を
どうやって組み合わせるかどうかについてです．
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楕円曲線での演算を説明する前に，
群の概念について説明します．
集合 X と演算 * を考えます．
集合というのは数字とかベクトルとか同じ種類のものを集めたものと考えてよいです．
集合 X と演算 * の組 (X, *) が群になる条件について見ていきましょう．
まずは，全ての x, y ∈ X について， x * y も
x * y ∈ X
となっていなければなりません．
演算結果が集合 X の中に入っている必要があります．
これは最低条件です．
これさえ満たしていれば群になるとは限りませんが．
2つ目は，全ての x, y, z ∈ X に対して
x * (y * z) = (x * y) * z
となる必要があります．
これは小学校・中学校の教科書でも
よく見かける結合法則ですね．
3つ目は，全ての x に対して
x * e = e * x = x
となるような e が存在する必要があります．
この e を演算 * に関する単位元といいます．
単位元はただ一つだけです．
演算するとその数そのままになるということです．
名前はよくわからなくてもいいですが（わかっておいたほうがいい），
掛け算の1や
足し算の0と
同じ役割を担うと思っていてください．
4つ目，最後は，全ての x に対して
x * y = y * x = e
となるような y が存在する必要があります．
このような y を x の逆元といって，
y = x^(-1) （読み方： x インバース）と表します．
それぞれの x に対して逆元がただ一つだけです．
足し算で符号を反転させることや
掛け算で分子と分母を入れ替えるということと
思っていてください．
この4つの条件を満たしたときに，
(X, *) は群をなすといいます．
例えば，整数の足し算 (Z, ＋) や
0を除いた実数の掛け算 (R ＼ {0}, ×) は
群をなします．
どういったものかは
紙に書いて確かめてみましょう．
インターネット家庭教師Netty
群の概念について説明します．
集合 X と演算 * を考えます．
集合というのは数字とかベクトルとか同じ種類のものを集めたものと考えてよいです．
集合 X と演算 * の組 (X, *) が群になる条件について見ていきましょう．
まずは，全ての x, y ∈ X について， x * y も
x * y ∈ X
となっていなければなりません．
演算結果が集合 X の中に入っている必要があります．
これは最低条件です．
これさえ満たしていれば群になるとは限りませんが．
2つ目は，全ての x, y, z ∈ X に対して
x * (y * z) = (x * y) * z
となる必要があります．
これは小学校・中学校の教科書でも
よく見かける結合法則ですね．
3つ目は，全ての x に対して
x * e = e * x = x
となるような e が存在する必要があります．
この e を演算 * に関する単位元といいます．
単位元はただ一つだけです．
演算するとその数そのままになるということです．
名前はよくわからなくてもいいですが（わかっておいたほうがいい），
掛け算の1や
足し算の0と
同じ役割を担うと思っていてください．
4つ目，最後は，全ての x に対して
x * y = y * x = e
となるような y が存在する必要があります．
このような y を x の逆元といって，
y = x^(-1) （読み方： x インバース）と表します．
それぞれの x に対して逆元がただ一つだけです．
足し算で符号を反転させることや
掛け算で分子と分母を入れ替えるということと
思っていてください．
この4つの条件を満たしたときに，
(X, *) は群をなすといいます．
例えば，整数の足し算 (Z, ＋) や
0を除いた実数の掛け算 (R ＼ {0}, ×) は
群をなします．
どういったものかは
紙に書いて確かめてみましょう．
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永田孝志さんは独力で発声技術を探し当てて，
具体的な方法論（私は知りません）で生徒の方々を指導されています．
私が言うのもおこがましいですが，
この人の研究態度を参考にしていきたいです．
孤独に権威に縛られずに，
真実を追求していく姿勢．
誰の教え方というよりも
どうやって結果を出していくか．
一回結果が出ても
それに満足せず追及していく．
日々考えていく姿勢．
そういうのが必要ではないでしょうか．
考えていくことを楽しみとしています．
永田孝志さんのブログのお蔭で
毎日楽しく過ごさせていただいております．
永田発声研究所 声楽発声と糖質制限の日々
具体的な方法論（私は知りません）で生徒の方々を指導されています．
私が言うのもおこがましいですが，
この人の研究態度を参考にしていきたいです．
孤独に権威に縛られずに，
真実を追求していく姿勢．
誰の教え方というよりも
どうやって結果を出していくか．
一回結果が出ても
それに満足せず追及していく．
日々考えていく姿勢．
そういうのが必要ではないでしょうか．
考えていくことを楽しみとしています．
永田孝志さんのブログのお蔭で
毎日楽しく過ごさせていただいております．
永田発声研究所 声楽発声と糖質制限の日々