楕円曲線での演算は点と点同士の演算です．
普通の足し算・掛け算とは少し異なります．
次の図をご覧ください．
P1 * P2 から見ていきましょう．
P1 * P2 は 直線 P1P2 と 楕円曲線の交点です．
この演算を便宜上楕円乗算とします．
楕円曲線は x 軸に関して対称なので，
楕円乗算した点 P1 * P2 のy 座標の符号を反転させた点を
定義することができます．
この点を P1 + P2 と定義します．
この演算を楕円加算といいます．
P1 と P2 が重なった場合，つまり，
楕円曲線の接点となる場合は，
接線と交わる点を乗算の点とします．
こんな感じです．
楕円乗算は群を作りませんが，
楕円加算は群になります．
群をなすということは，
普通の足し算のゼロや
掛け算のイチに
相当するものはあるのでしょうか？
楕円加算では無限に遠い点Oを
普通の足し算のゼロと
同じように扱うことができます．
まず， x = (P の x 座標) のグラフ（中学校の教科書では削除されている）と
楕円曲線のもう一つの交点を P * O とします．
P * O の y 座標の符号を反転させると，あら不思議．
なんと，点 P に戻ってしまいます．
したがって， P * O は P の y 座標の符号を反転させたもの，
つまり， P の逆元と考えることができます．
また， P + O は P そのものだということができます．
これで単位元 O が存在することはわかりましたね．
結合法則は図を描いてみればわかります．
以上で，楕円加算は群をなすということがわかりました．
楕円乗算は群をなさないということもわかります．
これは，P * e = e * P = P となるような e が見つからないからです．
乗算して元にもどるようなものがありません．
図からわかります．
結合法則は満たすので，群よりももう少し範囲が大きい
半群の性質を満たします．
