xy平面内の -1≦y≦1で定められる領域Dと、中心がPで減点Oを通る円Cを考える。
CがDに含まれるという条件のもとで、Pが動き得る範囲を図示し、その面積を求めよ。
京都大学 文系数学からの出題です。
（プラチカに収録されていた問題だったので、何年度の問題かは知りません。）
中々解法がシンプルな割に、面白い問題だったので、僕の解法とともに紹介します。
まず、-1≦y≦1という領域をｘｙ平面上に図示すると、ちょうど永遠に続く長方形のような図形になることが分かりますね。
この内部に点Pをとり、円Cを考えることになります。
ここで、円Cは原点を通るとあります。
原点を通るという条件があるということは、この円に何らかの制約がつくことになります。
この制約を数式的に理解することから初めて、[円が領域内にある]という条件において、円の半径がどのように変化するかを考えていけばＯＫでしょう。
まぁこれだけだと分かり難いので、早速解いてみましょう。
[解]
P(a,b)として、円Cの半径をrとすると、
(x-a)^2+(x-b)^2 = r^2
となりますね。
この円が原点を通るとき、
(0-a)^2+(0-b)^2=r^2
⇔ a^2+b^2 =r^2
すなわち、上で言う制約を数式で表すと、
a^2+b^2=r^2 ・・・①
ということになります。
先ほど言ったように、[円Ｃが領域Ｄに含まれる]という条件において、半径ｒの最大・最小値を求めればいいわけです。
なぜならば、半径r≧0 より、
最小≦r≦最大
⇔ 最小≦r^2≦最大
⇔[最小]^2≦a^2+b^2≦[最大]^2
という具合に、最終的にこれがa,bだけの式に帰着されるからです。
では、rの最大・最小値を求めましょう。
最小値は、明らかにr=0ですね。
では、最大値について、
(ⅰ) Pが第１または第２象限にあるか、ｘ軸上にある。すなわちb≧0のとき
円Cの中心点Pは、ｘ軸より上にあります。
つまり、領域Dの天井（y=1)に近い側にあるため、半径をどんどん大きくしていくと、どっちに先にぶつかるか？もちろん、天井ですね。
だから、「y=1に接するとき」rは最大となります。それ以上大きくすると、y≦1からはみ出てしまうのが分かると思います。
y=1 ⇔ y-1=0 と円Cが接するには
[Pとy-1=0との距離] = r となればよいので
lb-1l/(√1) = r
⇔ r=lb-1l
∴ r^2= b^2-2b+1
このときr^2は最大となる。
(ⅱ） Pが第３または第４象限にある。すなわちb<0のとき
円Cの中心は、今度は床（y=-1)に近くなります。
なので、半径をどんどん大きくしていったら、必然的にy=-1に先にぶつかります。このときが最大です。
なので[y=-1に接するとき]rは最大となります。
(ⅰ）と同様の作業をすれば、
r^2= (b+1)^2=b^2+2b+1
が最大となるはずです。
以上により、
b≧0のとき 0≦r^2≦b^2-2b+1
b<0のとき 0≦r^2≦b^2+2b+1
⇔
b≧0のとき 0≦a^2+b^2≦b^2-2b+1
b<0のとき 0≦a^2+b^2≦b^2+2b+1
⇔ b≧0のとき、 b≦(-a^2+1)/2
b<0のとき b≧(a^2-1)/2
結果的にこれを図示すればいいことになります。
これを図示すると、上下対称の放物線に囲まれた、楕円形のような図形が出現するはずです。
その面積の求め方は簡単。x軸に関して、上下の図形は対称だから、
2×∫[-1,1] {(-a^2+1)/2} da = 2×1/2×1/6×｛1-(-1)｝^3 = 8/6 = 4/3
したがって、求める面積は 4/3 となります。
以上、プラチカのとは違いますが、僕が自力で考えた答案でした。
「原点を通る」というたった１文の制約が、後々存在範囲を求めるための大事な布石になってくるんですね。
問題文には-1≦y≦1という１変数の不等式しか存在しないのに、解答ではこんなにも膨らむ。
やはり数学は、面白いです。
昨日からセンター試験の出願が始まりました。
僕は今日、最寄の郵便局に願書を出してきました。
切手代の４２０円で、簡易書留。
ただ・・・本当にちゃんと受理されるのかがちょっと心配・・・。
ミスだらけでかなり訂正したからなぁ。
記入例の存在に気付かず分かる限り自分で書こうとしたんですが、後で気付いて自分のと見比べてみると、電話番号は左詰で書く、などといった細かいところが結構間違ってました。
仕方なく二重線を引いて、訂正。
こんな分かりにくい願書、他にあるんですかねっていうレベルの出来に仕上がりました＾＾；
まぁ、１１月５日までに確認はがきが届くみたいですので、それが届かなければ、大学入試センターに問い合わせればいいだけの話なのですが・・・。
あと、記入に不備があったりしたら、おそらく大学入試センターから電話が来るだろうと思います。
願書一つでこんなに不安になるもんなんですね・・・こりゃぁ入試以前の問題だorz
僕は今日、最寄の郵便局に願書を出してきました。
切手代の４２０円で、簡易書留。
ただ・・・本当にちゃんと受理されるのかがちょっと心配・・・。
ミスだらけでかなり訂正したからなぁ。
記入例の存在に気付かず分かる限り自分で書こうとしたんですが、後で気付いて自分のと見比べてみると、電話番号は左詰で書く、などといった細かいところが結構間違ってました。
仕方なく二重線を引いて、訂正。
こんな分かりにくい願書、他にあるんですかねっていうレベルの出来に仕上がりました＾＾；
まぁ、１１月５日までに確認はがきが届くみたいですので、それが届かなければ、大学入試センターに問い合わせればいいだけの話なのですが・・・。
あと、記入に不備があったりしたら、おそらく大学入試センターから電話が来るだろうと思います。
願書一つでこんなに不安になるもんなんですね・・・こりゃぁ入試以前の問題だorz
小学校から、笑点やちびまる子ちゃん、サザエさんが始まると、だんだんと憂鬱になる癖ができました。
無意識のうちに、「明日から学校だ～・・・宿題やってねぇ～・・・」っていう風に考えてしまう。
どれも、心から笑えません（苦笑）。
今となっては学校に行くこともないのですが、まだその後遺症が残っていて、笑点のテーマが聞こえてると、少し憂鬱になります。
そして、今日の肌寒い秋の天気も、その憂鬱さを加速させているようです。
そして・・・・
心にぽっかりと穴が開く。発狂しそうだ。
その理由は、今は説明できませんが、言葉に出さないと、辛すぎる。
生とは苦行である、とはよく言ったものです。
人生というのは、超えなければならない試練が沢山残されているようです。
その合間に、ちょっとした楽しさを見つける。
僕には、これが少しばかり下手糞なのかもしれません。
無意識のうちに、「明日から学校だ～・・・宿題やってねぇ～・・・」っていう風に考えてしまう。
どれも、心から笑えません（苦笑）。
今となっては学校に行くこともないのですが、まだその後遺症が残っていて、笑点のテーマが聞こえてると、少し憂鬱になります。
そして、今日の肌寒い秋の天気も、その憂鬱さを加速させているようです。
そして・・・・
心にぽっかりと穴が開く。発狂しそうだ。
その理由は、今は説明できませんが、言葉に出さないと、辛すぎる。
生とは苦行である、とはよく言ったものです。
人生というのは、超えなければならない試練が沢山残されているようです。
その合間に、ちょっとした楽しさを見つける。
僕には、これが少しばかり下手糞なのかもしれません。
前回の記事でも少しほのめかしましたかが、悲しい出来事がありまして、ここ１週間ぐらい１分も勉強が出来ない状態が続いていました。
（精神的なものよりも、その後の忙しさの方が大きかったですが。）
で、今日久々にカンを取り戻すために、英語と生物をやっています。
久々に勉強をしてますが、やっぱり勉強していると落ち着きますね。
「いつもの自分」が戻った感じです。
受験生となった今では、「勉強している自分」にアイデンティティを見出すぐらいでしたからね。
それも寂しい話ですが・・・・難関大志望者の宿命と言われればそれまでです。
いつまでも思い悩んでいても仕方がないので、これからは気持ちを切り替えていきます。
センター試験まであと４ヶ月切った・・・・倫理やべぇ～ｗｗ予定が相当狂ったので、仕方なく政経の復習を多少切り詰めて、倫理を完全に履修できるように今日から問題集に入りたいと思います。
で、「悲しい出来事」について・・・・今は思い出すのも辛いので、ちゃんとした話をするのは、多分合格後になるでしょう。
合格後でも、お話できるかどうかは未定ですが・・・。
合格後に、自分の大学受験の軌跡を振り返ろうと思っているので、その時にお話できたらと思います。
（逆に、合格できなかったら、そんな話もできないということです 笑）
（精神的なものよりも、その後の忙しさの方が大きかったですが。）
で、今日久々にカンを取り戻すために、英語と生物をやっています。
久々に勉強をしてますが、やっぱり勉強していると落ち着きますね。
「いつもの自分」が戻った感じです。
受験生となった今では、「勉強している自分」にアイデンティティを見出すぐらいでしたからね。
それも寂しい話ですが・・・・難関大志望者の宿命と言われればそれまでです。
いつまでも思い悩んでいても仕方がないので、これからは気持ちを切り替えていきます。
センター試験まであと４ヶ月切った・・・・倫理やべぇ～ｗｗ予定が相当狂ったので、仕方なく政経の復習を多少切り詰めて、倫理を完全に履修できるように今日から問題集に入りたいと思います。
で、「悲しい出来事」について・・・・今は思い出すのも辛いので、ちゃんとした話をするのは、多分合格後になるでしょう。
合格後でも、お話できるかどうかは未定ですが・・・。
合格後に、自分の大学受験の軌跡を振り返ろうと思っているので、その時にお話できたらと思います。
（逆に、合格できなかったら、そんな話もできないということです 笑）
長らく更新が滞ってしまい申し訳ありません。
ちょっとある事情があって、これから更新があまりできなくなるかもしれません。
本当に、本当に辛い出来事です。
こんなブログ、見ている人などほとんどいないでしょうが、一応事務連絡としてこの記事を書いています。
まぁ、事情といっても要するに僕の精神的なものですので、また気が向いたら頻繁に更新をするかもしれません。
そこら辺については恣意的にならざるを得ない所があります故、ご理解をお願いします。
では、センター試験まで残り４ヶ月を切りました。
勉強を頑張って、志望校に合格できるようにしたいですね。
忙しくてセンター試験の受験料も納入できていない状況なので、明日からそれらの処理をしたいと思います。
ではでは、また更新ができたらします。
ちょっとある事情があって、これから更新があまりできなくなるかもしれません。
本当に、本当に辛い出来事です。
こんなブログ、見ている人などほとんどいないでしょうが、一応事務連絡としてこの記事を書いています。
まぁ、事情といっても要するに僕の精神的なものですので、また気が向いたら頻繁に更新をするかもしれません。
そこら辺については恣意的にならざるを得ない所があります故、ご理解をお願いします。
では、センター試験まで残り４ヶ月を切りました。
勉強を頑張って、志望校に合格できるようにしたいですね。
忙しくてセンター試験の受験料も納入できていない状況なので、明日からそれらの処理をしたいと思います。
ではでは、また更新ができたらします。