τ
= ( -1+√-t )/2 ( t ＞ 0 )
k( √-t ) = sinθ
k’( √-t ) = cosθ
として
lemma.
k’( 2τ )
= 1/cosθ
k( 2τ )
= √-1tanθ
k’( τ )
= cos2θ -√-1sin2θ
k( τ )^2
= 2√-1sin2θk’( τ )
⇒
K( k( 2τ ) ) = K( √-1tanθ ) = cosθK( sinθ )
= ( ( 1+k’( τ ) )/2 )K( k( τ ) ) = cosθ( cosθ -√-1sinθ )K( k( τ ) )
⇒
cor.
K( k( τ ) )
= K( sinθ )( cosθ +√-1sinθ ) : 極形式
sinθ
= 1/√5
cosθ
= 2/√5 :
k( τ )
= ( 6+2√-1 )/5
k’( τ )
= ( 3-4√-1 )/5
∫ 1/√( ( 2x-x^2 )( 4x^2+9 ) ) dx ( x = 0 〜 2 )
= : x = 1/t と置換積分
∫ 1/√( ( 2t-1 )( 4+9t^2 ) ) dx ( t = 1/2 〜 ∞ )
= ( √2/3 )∫ 1/√( 4t^3+・・・ ) dx ( t = 1/2 〜 ∞ )
( e1 , e2 , e3 )
= ( 1/2 , ( 2/3 )√-1 , -( 2/3 )√-1 )
として
√( ( e2-e3 )/( e1-e3 ) )
= k( τ )
⇒
∫ 1/√( ( 2t-1 )( 4+9t^2 ) ) dx ( t = 1/2 〜 ∞ )
= ( √2/3 )( K( k( τ ) )/√( e1-e3 ) )
= ( √2/3 )( ( 2/√5+√-1/√5 )K( 1/√5 ) )/( ( 2+√-1 )/√6 ) )
= ( 2/√15 )K( 1/√5 ) : Tripos ( 1911 )