ρ : 密度
= m/V
v
= ( u , v , w )
= ( dx/dt , dy/dt , dz/dt )
divv
= ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z
として
∂ρ/∂t+div( ρv ) = dρ/dt+ρdivv
= 0 : 連続方程式
が成り立っている.
特に
divv = ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z
= 0
⇒
dρ/dt
= 0 : 質量保存則
⇒
ω
= dp/dt
として
∂u/∂x+∂v/∂y+∂ω/∂p
= 0 : p座標系連続方程式
ω
= : 定義
dp/dt
= : Euler
∂p/∂t+( ∂p/∂x )( ∂x/∂t )+( ∂p/∂y )( ∂y/∂t )+( ∂p/∂z )( ∂z/∂t )
=
∂p/∂t+( ∂p/∂x )u+( ∂p/∂y )v+( ∂p/∂z )w
で
∂p/∂t , ( ∂p/∂x )u , ( ∂p/∂y )v ＜＜ ( ∂p/∂z )w
⇒
ω
〜 ( ∂p/∂z )w
= ( -ρg )w
⇒
ω
= -ρgw
と見做せる！
du/dt
= fv-( 1/ρ )( ∂p/∂x )
dv/dt
= -fu-( 1/ρ )( ∂p/∂y )
: 摩擦力の無い空気の運動方程式 in x-y平面
D
= : 定義
∂u/∂x+∂v/∂y = -∂w/∂z
= : 連続方程式
-∂ω/∂p ( ω = dp/dt = -ρgw )
ζ : 渦度
= : 定義
∂v/∂x-∂u/∂y
とすると
( d/dt )( f+ζ )
+( f+ζ )D
+( ∂ω/∂x )( ∂v/∂p )-( ∂ω/∂y )( ∂u/∂p ) : 立ち上がり項
= 0 : 渦度方程式
そこで
Z : 絶対渦度
= : 定義
f+ζ
として
dZ/dt
+ZD
+( ∂ω/∂x )( ∂v/∂p )-( ∂ω/∂y )( ∂u/∂p )
= 0 : 渦度方程式
q.e.d.
Remark :
ζD
= ( ∂v/∂x-∂u/∂y )( ∂u/∂x+∂v/∂y )
( ∂ω/∂x )( ∂v/∂p )-( ∂ω/∂y )( ∂u/∂p )
〜 0
として
( d/dt )( f+ζ )+fD
= 0 : 簡略渦度方程式？
⇔
dζ/dt
= -( df/dt+fD )
df/dt
= ∂f/∂t+u( ∂f/∂x )+v( ∂f/∂y )+w( ∂f/∂z )
= ∂f/∂t+u0+vβ+w0
= ∂f/∂t+βv
D
= ∂u/∂x+∂v/∂y
⇒
in 北半球( f ＞ 0 , ∂f/∂t , ∂f/∂y ＞ 0 )
( ∂u/∂x , ∂v/∂y ) = ( 0 , + ) ⇔ 南風 :
df/dt
＞ 0
D
＞ 0
dζ/dt
＜ 0 ( 渦度減少 )
( ∂u/∂x , ∂v/∂y ) = ( 0 , - ) ⇔ 北風 :
df/dt
＞ 0
D
＜ 0
dζ/dt
＞ 0 ( 渦度増加 )
vθ
= -rf/2+√( ( rf/2 )^2+r( ( 1/ρ )( ∂p/∂r ) ) ) : 傾度風
→
( 1/f )( 1/ρ )( ∂p/∂x ) = vg : 地衡風 ( r → +∞ )
vθ^2/r+fvθ → vθ^2/r+0 = vθ^2/r ( r → +0 )
= ( 1/ρ )( ∂p/∂r ) : 旋衡風
q.e.d.
Remark :
ug
= -( 1/f )( 1/ρ )( ∂p/∂y ) : 地衡風
⇒
∂ug/∂z
= -( 1/f )( g/T )( ∂T/∂y ) : 温度風
Macbook Pro
+ : bluetooth
C22
+
portable radio
+
Lepy Amp
+
YAMAHA NS-10MM
( x , y )
= r( cosθ , sinθ )
( vr , vθ )
= ( dr/dt , r( dθ/dt ) )
として
( du/dt )cosθ+( dv/dt )sinθ
= dvr/dt-vθ^2/r
= fvθ-( 1/ρ )( ∂p/∂r )
⇒
dvr/dt
= vθ^2/r+fvθ-( 1/ρ )( ∂p/∂r )
特に
dvr/dt = d2r/dt2
= 0
⇒
vθ^2/r+fvθ-( 1/ρ )( ∂p/∂r )
= 0
⇒
vθ
= -fr/2+√( ( fr/2 )^2+r( ( 1/ρ )( ∂p/∂r ) ) )
( vr , vθ )
= ( constant , -fr/2±√( ( fr/2 )^2+r( ( 1/ρ )( ∂p/∂r ) ) ) ) : 傾度風
q.e.d.
Remark :
傾度風
⇔
vθ^2/r : 遠心力
+
fvθ : Coriolis力
=
( 1/ρ )( ∂p/∂r ) : 気圧傾度力
特に
vθ^2/r
＞＞ fvθ
⇔
fvθ / ( vθ^2/r ) = 2sinφ
〜 +0
⇒
φ : 緯度
〜 +0
⇒
vθ^2/r : 遠心力
=
1/ρ )( ∂p/∂r ) : 気圧傾度力 at 赤道付近
⇔
vθ
=
√( ( r/ρ )( ∂p/∂r ) : 旋衡風( 台風 , 竜巻 )
( ug , vg ) : 地衡風
= ( 1/fρ )( -∂p/∂y , ∂p/∂x )
= ( g/f )( -∂z/∂y , ∂z/∂x )
⇒
( ∂ug/∂z , ∂vg/∂z )
= ( g/fT )( -∂T/∂y , ∂T/∂x ) : 公式
⇒
( uT , vT ) : 温度風
= : 定義
( ug( z2 )-ug( z1 ) , vg( z2 )-vg( z1 ) )
そこで
ZT : 層厚( thickness )
= z2-z1
( ∂ug/∂z , ∂vg/∂z )
= ( g/fT’ )( -∂T’/∂y , ∂T’/∂x )
として
ZT
= ( RT’/g0 )ln( p1/p2 )
( uT , vT )/ZT
→ ( g/fT )( -∂T/∂y , ∂T/∂x ) ( ZT → 0 )
( uT , vT )
⊥ ( ∂T’/∂x , ∂T’/∂y ) : 温度移流
になっている.
基本例 123.
200kmについて2mbの気圧差のとき, 緯度30°のところで吹く地衡風の風速を求めよ.
ただし, 空気の密度は 1.0×10^( -3 )g/cm^3 とする.
sol :
( ug , vg )
= ( 1/fρ )( -∂p/∂y , ∂p/∂x ) : 地衡風
f : Coriolis parameter
= 2ωsinφ
ω : 地球自転角速度
= 2π ( rad )/( 24×60×60 ( sec ) )
= 7.3×10^( -5 ) ( rad/sec )
⇒
f
= 2×7.3×10^( -5 )×sin( π/6 )
= 7.3×10^( -5 )
∂p/∂x : 気圧傾度
〜 Δp/Δx
= 2×10^3 ( dyn/cm^2 )/200×10^5 ( cm )
= 10^( -4 ) ( dyn/cm^3 )
⇒
vg
= ( 1/fρ )∂p/∂x : 地衡風の風速はsinφに反比例する！
= ( 1/( ( 7.3×10^( -5 ) )×( 1.0×10^( -3 ) ) ) )×10^( -4 )
= 10^4/7.3
= 1.4×10^3 ( cm/sec )
= 14 ( m/sec )
基本例 123.
( a )
気圧差が100kmにつき2mb,
高度3kmの上空の空気の密度を9.1×10^( -4 )g/cm^3,
地球自転の角速度を7.3×10^( -5 )ラジアン/秒,
としたとき,
緯度30°の地点における地衡風の風速( m/秒 )を求めよ.
sol :
f : Coriolis parameter
= 2×7.3×10^( -5 )×sin( π/6 )
= 7.3×10^( -5 )
∂p/∂x : 気圧傾度
〜 Δp/Δx
= 2×10^3 ( dyn/cm^2 )/100×10^5 ( cm )
= 2×10^( -4 ) ( dyn/cm^3 )
⇒
vg : 地衡風
= ( 1/fρ )∂p/∂x
= ( 1/( ( 7.3×10^( -5 ) )×( 9.1×10^( -4 ) ) ) )( 2×10^( -4 ) )
= ( 2×10^5 )/( 7.3×9.1 )
= 3×10^3 ( cm/sec )
= 30 ( m/sec )
( b )
緯度30°の地衡風の風速は, 緯度60°におけるそれの何倍か.
( 一橋大 )
sol :
地衡風の風速はsinφに反比例する
( ⇔ 緯度が高いほど地衡風の風速は弱い )
⇒
( 1/sin( π/6 ) )/( 1/sin( π/3 ) )
= sin( π/3 )/sin( π/6 )
= ( √3/2 )/( 1/2 )
= √3
= 1.73倍
基本例 117.
不飽和の空気が断熱的に上昇する場合, この空気塊の凝結点に達する高度h(m)は
h = 125( T-t )
であらわされる.
この式のTは地上温度, tは露点温度を示す.
地上温度25°C, 露点温度17°Cの空気塊が上昇するときの凝結高度を求めよ.
sol :
h
= 125( 25-17 )
= 1000m
基本例 118.
風上側の山麓( 高度0m )で20°Cの空気が高度2200mの山を越えるとする.
高度1000mのところで雲を生じ, 山頂を越えて高度1800mのところで雲がなくなった.
風下側の盆地( 高度200m )における気温を求めよ.
また, 湿度はどうなるか.
ただし, 湿潤断熱減率を0.5°C/100mとする.
sol :
TE
=
TA
+Γd( ( hB-hA )/100 )
+Γs( ( hC-hB )/100 )
+Γs( ( hD-hC )/100 )
+Γd( ( hE-hD )/100 )
= : 公式？
TA
+( Γs-Γd )( ( hD-hB )/100 )
+Γd( ( hE-hA )/100 ) : hC( 山の高さ )は関係なし！
=
20
+( ( -0.5 )-( -1.0 ) )( ( 1800-1000 )/100 )
+( -1.0 )( ( 200-0 )/100 )
=
20
+4
-2
=
22°C
湿度は非常に低く
空気は異常乾燥
基本例 119.
平地にある温度18°C, 湿度68%の空気が1850mの山を越えて風下側の平地に下がったとする.
そのとき雲のできはじめる高度, 山頂の気温, 風下側の平地の気温はそれぞれどれだけか.
ただし, 乾燥断熱減率は1°C/100m, 湿潤断熱減率は0.5°C/100m, 露点温度は12°Cとする.
また, 凝結高度Hは気温をt, 露点温度をt’とすれば
H = 125( t-t’ ) で求められる. ( 早大 )
sol :
h
= 125( 18-12 )
= 750mm
t at 山頂
= 18+( -1)( ( 750-0 )/100 )+( -0.5 )( ( 1850-750 )/100 )
= 18-7.5-5.5
= 5°C
t at 平地
= 5+( -1 )( ( 0-1850 )/100 )
= 5+18.5
= 23.5°C
基本例 120.
地上気温20°C, 気温減率0.6°C/100mのとき, 地表の一部の空気が25°Cにあたためられたとき, この空気塊の温度と周囲の気温とが一致するのは何mの高さか. ただし, 空気塊は乾燥断熱変化をするものとする.
sol :
20+( -0.6 )( ( h-0 )/100 )
= 25+( -1 )( ( h-0 )/100 )
⇒
0.4( h/100 )
= 5
⇒
h
= 1250m
基本例 114.
大気の温度30°C, 湿度70%のときの水蒸気圧および水蒸気量
を求めよ.
ただし, 30°Cの飽和水蒸気圧は31.8mmHg,
飽和水蒸気量は30.4g/m^3である.
sol :
水蒸気圧
= 31.8×( 70/100 )
= 22.26mmHg
水蒸気量
= 30.4×( 70/100 )
= 21.28g/m^3
基本例 115.
気温26°C, 湿度80%のとき, 空気1m^3中にある水蒸気の総量
を求めよ.
ただし, 26°Cにおける飽和水蒸気の圧力は25mmHg,
同温・同圧の下における水蒸気の密度は乾燥した空気の密度
の5/8であり, 26°C, 1気圧の乾燥空気1m^3の質量は1180gである.
sol :
1180×( 5/8 ) : 26°C, 1気圧の水蒸気1m^3の質量
×( 25/760 ) : 26°Cの飽和水蒸気量
×( 80/100 ) : 湿度80%のときの水蒸気量
= 19.4g
基本例 116.
外気温が5°C, 湿度70%のとき, 暖房によって室内の温度を20°C
にすると湿度は何%になるか.
また, 30m^3の室内の温度を20°Cで, 70%に保つにはさらに何g
の水を蒸発させる必要があるか.
ただし, 飽和水蒸気量は
5°Cのとき6.8g/m^3,
20°Cのとき17.3g/m^3
であるとする.
sol :
湿度
= ( 6.8 ×( 70/100 ) )/17.3
= 0.275
= 27.5%
蒸発させる水の重さ
= 17.3×0.7×30-6.8×0.7×30
= 220.5g