τ
= √-t ( t ＞ 0 ) :
k
= k( τ )
として
K( 1/k )
= kK( k )( 1+τ ) : Jacobi-虚数変換
⇒
∫ 1/√( ( 1-x^2 )( 1-( ( 1/k )x )^2 ) dx ( x = k 〜 1 )
= kK( k )√-t
z
= 1-x^2
と置換積分して
∫ 1/√( 4z( z-1 )( z-k’^2 ) ) dz ( z = 0 〜 k’^2 )
= √tK( k )
= K’( k )
= K( k’ )
⇒
∫ 1/√( 4z( z-1 )( z-k^2 ) ) dz ( z = 0 〜 k^2 )
= K( k )
q.e.d.
τ
= √-1 :
k
= k’
= 1/√2
K( k )
= ω/√2
= ( B( 1/4 , 1/2 )/2 )/√2
= B( 1/4 , 1/2 )/2√2
⇒
∫ 1/√( 4z( z-1 )( z-1/2 ) ) dz ( z = 0 〜 1/2 )
〜 1.7983274598 ・・・
= B( 1/4 , 1/2 )/2√2 = 1.8540746773 ・・・