楕円曲線 C : y^2
= 4x( x-1 )( x-k^2 ) ( ( e1 , e2 , e3 ) = ( 1 , k^2 , 0 ) )
= 4( x^3-( k^2+1 )x^2+k^2x )
そこで
x
= t+( k^2+1 )/3
= t+a ( t = x-a )
とTschirnhaus変換すると
y^2
= 4( t^3+( -3a^2+3a-1 )t+( -2a^3+3a^2-a ) )
( ( e’1 , e’2 , e’3 ) = ( 1-a , k^2-a = 2a-1 , 0-a = -a ) )
と2次項が消えてくれる.
τ
= √-s ( s ＞ 0 )
sinθ
= k( τ )
cosθ
= k’( τ )
として
K( k )
= √( e’1-e’3 )∫ 1/y dt ( t = e’1 〜 ∞ )
が成り立っている.
K( sinθ ) = K( cosθ )/√s
= ∫ 1/y dt ( t = 1-a 〜 ∞ )
⇒
K( cosθ ) 〜 ( √s/cosθ )( π/2 )
= √s∫ 1/y dt ( t = 1-a 〜 ∞ )
⇒
α
= ∫ 1/y dt ( t = 1-a 〜 ∞ )
〜 ( 1/cosθ )( π/2 )