η(τ)
= ( 2k(τ)k’(τ) )^( 1/6 )( K( k(τ)/π)^( 1/2 ) : 公式
k(τ= √-7 )
= sinθ
k’(τ= √-7 )
= cosθ
a
= ( 2sin2θ)^2
とすると
2k(τ)k’(τ)
= sin2θ
= √a/2
K( k(τ)/π
= ( 1/2 )( 1/A.G.M.( 1 , k’(τ) ) )
⇒
η(τ= √-7 ) = q^( 1/12 )Π( 1-q^( 2n ) ) ( n = 自然数 ) : 定義
= ( √a/2 )^( 1/6 )( ( 1/2 )( 1/A.G.M.( 1 , k’(τ) ) )^( 1/2 )
= ( a/2^8 )^( 1/12 )/A.G.M.( 1 , k’(τ) )^( 1/2 ) : 変形公式
= 0.500245584・・・・・・・ : Excel検算
q.e.d.