Eulerは
( 1/1 )^n
-( 1/2 )^n
+( 1/3 )^n
-( 1/4 )^n
+( 1/5 )^n
-( 1/6 )^n
+・・・・・・・
= ( 1-( 1/2 )^( n-1 ) )ζ( n )
( n＞1 )
と
1/( 1+x )
= 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-・・・
( | x |＜1 )
を使って強引にも！
ζ( 0 )
= -1/2
ζ( -1 )
= -1/12
ζ( -2 , -4 , -6 , -8 , -10 , ・・・・・・・)
= 0
ζ( -3 )
= 1/120
ζ( -5 )
= -1/252
・・・・・・・
を出しました！
すると
Σn^5/( e^2nπ-1 )
= ( 1/2π)( 2πB1ζ( -5 ) ) ← ここだけが残る！
= ( -1/2 )( -1/252 )
= 1/504
が出てくれる！！
途中エライ無茶な事したのに最後は辻褄が合っている・・・・・・・
のであります！
当にこれがEuler流の真骨頂か！！