xcot x
の2通りのTaylor展開を係数比較すると
ζ( 2n )
= ( -1/2 )( 2πi )^2nB2n/( 2n )！ ( n : 自然数 )
が出て来る！
またEulerは強引にも
ζ( -2n )
= 0
ζ( 1-2n )
= 2( 2n-1 )！ζ( 2n )/( 2πi )^2n
を出しました！！
すると
ζ( 1-2n )
= ( -1/2n )B2n
となるけど
B2n+1
= 0
だから
ζ( 1-( 2n+1 ) )
ζ( -2n )
= B2n+1/( 2n+1 )
ということで
ζ( 1-m )
= ( -1 )^( m+1 )Bm/m ( m : 自然数 )
が出て来る！
これが正しいことの厳密な証明はRiemannによるそうです！