早稲田大学 人間科学部(英数型) 数学 講評| 2025年大学入試数学
●２０２５年度大学入試数学評価を書いていきます。今回は早稲田大学(人間科学部、英数型)です。
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。 KATSUYAです。
2月に入り、本格的に２次試験シーズンがやってきました。お馴染みになってきたかもしれませんが、２０２５年 大学入試数学評価をやっていきます。
２０２５年大学入試（私大）シリーズ
早稲田大学(人間科学部、英数型)です。
問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。 ☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。
また、解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。
※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。 したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。
同時に、その時間の２倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。
本文にある緑字(この色)は、数学を受験する上で必要な原則を表しています。知らなかった場合は、言葉を覚えるだけでなく、必ず教科書や問題集等で該当する類題を数題見つけ、演習することで定着させてください。
自分で探して自分で解く。これが一番身につきます。
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Principle Pieceシリーズの販売を再開しました＾＾ 原則習得のための参考書です。
YouTube開設しました。 個人的に紹介したい大学入試数学を中心に解法や発想を紹介していこうと思います。
Twitter始めました こちらもよろしくお願いいたします＾＾
早稲田大学（人間科学部）英数型 数学
（試験時間60分、５問、穴埋め型）
目次
１．全体総評～後半2題の方が簡単～
※2024年の理系数学と比較
昨年比ではやや難化で、例年比に比べても結構キツイと思います。後半の理系範囲の2題は明らかに簡単になりましが、前半は受験生が嫌いそうなタイプを寄せ集めたようなセットなので、難しく感じたでしょう。
相変わらず60分という時間内ではかなりキツめ。
試験時間60分に対し、標準回答時間は118分【78分】（←穴埋め考慮）
これ以前は、理系数学の方の解答時間です。
2024年：109分【71分】（←穴埋め考慮）
2023年：99分【66分】（←穴埋め考慮）
2022年：110分【74分】（←穴埋め考慮）
2021年：113分【78分】（←穴埋め考慮）
2020年：101分【68分】（←穴埋め考慮）
2019年：89分【57分】（←穴埋め考慮）
2018年：63分【42分】（←穴埋め考慮）
2017年：91分【56分】（←穴埋め考慮）
2016年：82分【51分】（←穴埋め考慮）
2015年：100分【59分】（←穴埋め考慮）
２．合格ライン
第１問から意外と差がつくかも。(1)(2)は解き方次第で時間に差が出るが、答えが整数値であることもウマく使って何とかおさえたい。(3)は基本。
第２問は絶対値付きの関数だが、経験がないとかなり厳しいか。経験があってもまあまあメンドウ。
第３問はベクトル。外心の方は押さえたいが、内心の方は正答率ひくいか。
第４問はキー問題。経験の有無で差が出るが、演習経験があるならここが一番ラクまである。
第５問はカリカリ計算するだけなのでおさえたいが、時間があったかどうか。
去年の第4問のような難問はないものの、前半を中心に取りにくいものが多い。うまく逃げて後半2題に手をつける時間があったかどうかがカギ。2完半ぐらいでもOKかも。
※点数標準化による得点調整があるため、あくまで目安です。
３．各問の難易度
第１問(1)【式と証明】因数分解（AB、12分【8分】、Lv.1）
4次式の因数分解ですが、2次×2次の指定があるので、実質恒等式の問題です。
文字でおいて左辺＝右辺で恒等式と見るんですが、思ったよりメンドウです。「整数係数の範囲で」とあるので、定数項がー５であることから、組み合わせ(－１，５)か（－５，１）として全調査ですね。
※KATSUYAの解答時間3:33。整数係数を見落としてましたが、「穴埋め的にそうやろ」と勝手に整数で考えて(b,d)の組み合わせを絞る＾＾； まあ結果オーライってことで。
第１問(2)【方程式】根号を含む方程式（AB、12分【8分】、Lv.2）
根号を含む方程式。数Ⅲの範囲ではないですが、いわゆる原則習得書の問題集には載りにくいタイプのため、受験生が苦手そうなタイプです。
両辺を2乗する作業を2回行って強引に計算すれば出来ますが、計算量はかなり膨れます(なお、迷うぐらいならこれぐらいやりましょう)。
このタイプは、片方をカタマリとみなすとうまくいくことが多いです。例えば√x+510=A とでも置けば、中身＝A^2なので、もう片方は√A^2+312 となります。この状態で、Aだけ移項して2乗すれば1度でAだけの方程式になります。
なお、答えが整数であることから、強引に探すのもありでしょう。ｘ＝０だと23弱と28強なので、2項は23と29だろうと予想が付けば簡単に出せます。
※KATSUYAの解答時間1:33。あーこれは受験生の正答率意外と低そう。なお、私は穴埋めかつ答えが整数であることを利用し、青字の方法で解答。
第１問(3)【空間ベクトル】球面と平面、軸の交わり（AB、8分【5分】、Lv.1）
直径の両端の与えられた球面とxy平面、およびｚ軸の交わりに関する問題。
直径の両端が与えられていれば球面の方程式は簡単に立てられます。あとはその式に、xy平面はz=0を、z軸との交点はx=y=0を代入して解くだけです。
※KATSUYAの解答時間1:28。今年、球面を切る設定多くないか＾＾；でもまあ、この問題は簡単か。
☆第２問【２次関数？】絶対値付き1次関数の決定（C、30分【20分】、Lv.３）
絶対値付き1次関数が３つつながった式の最小値や値などから、係数を決定する問題。経験がないとかなりつらいタイプだと思います。
なお、拙著シリーズではこのタイプもちゃんと収録済みです＾＾
(『Principle Piece 数学Ⅰ 2次関数』例題４５，４６)
このタイプはこちらの原則を用いるとグラフ(増減)のイメージがめちゃくちゃ楽にわかります。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ～2次関数～p.76 参照）
これにより、最初は5x+4f(x)の傾きの変化だけを見ます(微分していると考えてもOK)。係数設定が絶妙で、この式だとx=aで最小になるので、f(a)の値を書けばOK。
後半は係数決定ですが、これも結構メンドウ。まずf(x)は上の原則によりx=bで最小になるので、f(b)=20です。これとf(c)=28であることと、さらに区間[b,c]は傾きが１になることかから、c=b+8も分かります。
あとはf(10)=31の10が、cより右にあるのか、ａとｂの間にあるのか、ａより小さいかで場合分けして、条件式から連立方程式を解きます。
経験があれば方針は立ちますが、それでも後半は場合分けも多い。本セット最難問だと思います。
本問は解説動画があります。2025年良問BEST11位とさせていただきました！
※KATSUYAの解答時間12:19。今年は、ここまでだけでも受験生が嫌いそうな問題多い気がする。出鼻をくじかれて受験生はキツイのでは？
第３問【平面ベクトル】内接円、外接円とベクトル（B、20分【13分】、Lv.2）
平面ベクトルからで、三角形の頂点と外心(内心)を結ぶ直線と、外接円(内接円)との交点のベクトル表示を求める問題。外心の方はいいですが、内心の方はベクトルだけで攻めるのはキツイので、こちらも点数に結びつかない人がいるでしょう。
前半は、外心の位置が特定できれば、それを2倍するだけです。外心はもちろんこちらの原則で出せますね。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C～平面ベクトル～p.45→別解も紹介）
後半の内心の方はちょっとメンドウ。聞き方からして、欲しいのはAQとAKの長さの比であることにまず気づきます。
まず内心の位置ベクトルを出します。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C～平面ベクトル～p.43 参照）
なお、穴埋めなら準公式で瞬殺してもOK。(拙著ではちゃんと載せてます)
ベクトルが出たら2乗してAKの長さを求めます。その長さから、内接円の半径を引いたらAQになります。内接円の半径は面積媒介が速いでしょう。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ～三角比～p.51 参照）
AKの長さの計算が係数的にまあまあメンドウですね。
※KATSUYAの解答時間13:43。前半は外心求めて2倍するだけか。後半はメンドいな。円周上の点はベクトルには向かないから、、、半径引けばいいから面積媒介でいっか。
☆第４問【複素数平面】方程式の解の位置（B、18分【12分】、Lv.3）
これまでの人科理系数学同様、ここから理系問題。 方程式の解が複素数平面上で直角三角形をなすようにせよという問題。基本とは言いませんが、パターン問題で、拙著『Principle Piece 数学B・C 複素数平面』にももちろん収録されています(多分拙著の方が難しい)。
これは演習経験済みの人にとっては、本セット最易問レベルでしょう。初見だと時間はかかるかもだが、正解はしたい。
この手のタイプの原則を確認しておきます。
（詳細は拙著シリーズ 数学B・C～複素数平面～p.64 参照）
3次方程式は1つは絶対実数で、三角形ができるなら残りは共役複素数で、三角形は二等辺三角形になります。これと問題文の条件から、出来る三角形は直角二等辺三角形となります。
この瞬間、まず面積は１で確定です。てか、整数値入れるんなら絶対１です。ズルいですが、そこからも直角二等辺であることは分かります。
あとは原則[2]を使うだけ。三角形の向きを考えて、3解は(a,a+1±i)、(a,a－1±i)のどっちかです。1次の係数からaの値はすぐ出ますので、あとは積が５になる方を選んでｋの値を計算しましょう。
※KATSUYAの解答時間2:36。いや理系範囲の方が簡単なんかい＾＾； まあ早稲田人科ってまあまあこういうことあるよな。
第５問【積分法(グラフ)】接線絡みの面積（B、18分【12分】、Lv.1）
y=cos x上のグラフの接線や面積に関する問題。定期テストに出てもおかしくないようなレベルの問題で、これは落としたくないですが、時間を確保できていたかどうかです。
前半はいいでしょう。接線の方程式を出して、ｙ＝０とするだけです。
後半も接線の方程式を一般に出し、面積をθで表します。sinθは1次、cosθは2次が残りますから、sinθだけの式にできますね。
（詳細は拙著シリーズ 数学Ⅰ 三角比 p. 参照24）
※KATSUYAの解答時間は6:13です。こっちもただ計算するだけの問題か。理系専用の方がめっちゃ楽。前回ここアステロイド系やったからな。多分出来が悪かったんやろな＾＾；
４．対策
内容的には、1歩進んだ典型パターンが多めという感じです。拙著『Principle Piece』がかなりカッチリと合うレベル感と言えます。
制限時間との勝負になります。穴埋めならではの飛ばし方も練習しましょう。
理系の第４問、第５問は微積（積分寄り）と、新課程の複素数平面が多い印象です。(ここ6年のうち5年出てます)。穴埋めなので最後の１行でも計算ミスすると０点ですから、正確に計算できるように訓練しておきましょう。
量をこなす演習：じっくり演習＝10：０でOK。
60分でじっくり考えないといけない問題は、捨てて問題ないでしょう。
以上です＾＾
■関連する拙著『Principle Pieceシリーズ』(リニューアル版！)■
数学I Chapter３～2次関数～ (第２問)
数学II Chapter１～式と証明～ (第１問(1))
数学B・C Chapter３B～平面ベクトル～ (第3問)
数学B・C Chapter３B～空間ベクトル～ (第１問(3))
数学B・C Chapter４～複素数平面～ (第４問)
数学III Chapter６～積分法(グラフ編)～ (第５問)
今年は確率がありませんでしたね。
計算０．９ (計算練習帳です＾＾)
∫calc. (理系の微積分の計算練習帳です＾＾)
すでに原則系の参考書を持っている方にはこちらがおススメ！！
※2023年末時点で販売中のもののみ記載しています。最新販売情報はこちらからどうぞ＾＾
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