・・・・・・・っということで、中学時代のエピソードです。
数学の先生が円周率とは何か？と質問しました。
ある女の子が即座に、「円周を直径で割ったもの」と答え、ずいぶん感心したことを覚えています。
でも、円周の長さを正確に測ることはできませんよね。
AI君に100桁まで円周率を表示してくださいとお願いしたら、即座に答えが返ってきました。
3.1415926535 8979323846 2643383279 50288419716939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
円周率を出す数式を教えてと聞いたら、これも即座に答えてくれました。
1. ライプニッツ級数
\pi = 4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}
2. オイラーの公式
\pi^2 = 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
3. モンテカルロ法
確率を使った方法で、円の面積の比率から円周率を近似的に求めます。
4. アルキメデスの方法
古代ギリシャのアルキメデスは、多角形の面積を用いて円周率を近似しました。
さらに、AI君はどの式を使ったのかと聞くと、どれも使っていないと答えるではないですか。
1. ベイリー＝ボーレイン＝プラウフ（BBP）公式
\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6} \right)
2. チュドノフスキーアルゴリズム
\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (640320)^{3k + 3/2}}
円周率を何億桁でもあっという間に計算できるそうです。
さっぱり分かりませんよね。(;^_^A
じゃあ、これらの数式を発見したのはいつ頃かと質問したら、最初の公式が1995年、2番目が1988年だそうです。
すっごく最近なのですね。
要は収束速度が劇的に速く、コンピュータアルゴリズムに非常に適しているそうです。
なんかますます分かりにくくなりますが、ぼくとしてはアルキメデス（前287年? - 前212年）の方法にロマンを感じますね。
このπは無限に続きますが、実用上で製品を作る時の工学計算やロケットの軌道の計算は何桁まで使っているのでしょう？
工学的にはおおよそ10～15桁で、航空宇宙分野で15～20桁、スーパーコンピュータやシミュレーションでは数百桁程度、理論的な数学や暗号理論では数千～数億桁だそうです。
中学生時代の数学の思い出からずっと謎だったけど、説明されてもますます謎ですね。(^^)/
