「大老」も「老中」も、言葉の意味としては「徳川家の御家老さま」という意味です。
江戸幕府の職制としては、最高意思決定機関が「老中」です。この「中」は大中小のうち第二位と言う意味ではなく「合議制」という意味です。「亀山社中」の中、と同じですね、グループです。つねに四～五名いて、世襲ではありません（つまり老中の息子が自動的に老中になれるわけではない）。常に入れ替わるので、独裁政治になる危険が低いわけです。
大老の大は「大中小」の大であり、老中メンバーよりエライという意味です。原則一人ですが、江戸初期に二人いたことが短期間あり、また大老がいない時期もあります。つまり江戸初期には「老中を勤めあげた者が、ご苦労様といって棚上げされて就任する、名誉職」だったんです。格は高いけれど特に仕事はありません。将軍が幼いときや病弱のときは変わりに儀式を担当する、くらいのことだったんです。
しかし、そうはいっても制度的には老中より上ですので、やがて、老中から実力で大老に昇進し、独裁的に政治をしようという者も出てきます。四代将軍のときの酒井忠清、五代将軍のときの堀田正俊、などです。しまいには堀田大老が部下の恨みを買って殿中で刺殺される、という事件が起きます。
そこで「やっぱり大老が単独で政治をやらせるのは宜しくない、大老はもともとの名誉職に戻そう」ということになり、これ以降幕末まで、井伊家が大老蜀を独占することになります。
井伊家の当主はそれなりの年齢になると、老中など他の職を経ずに（つまり政治経験なしに）、自動的に大老に就任します。仕事は将軍の代わりに、老中会議の上げて来た決定を承認するだけ、です。
江戸幕府で「単独」で「世襲」なのは、将軍と、後期の大老だけです。つまり権威はあるけど権限はないのが将軍と大老です。
じゃあ幕末の井伊直弼はどうなんだ、と言われそうですが、このひとは「非常時」の「突然変異種の大老」なんです。この件は長くなるので、またいずれ。