第８章 ハミルトニアン行列（問題）
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第８章 ハミルトニアン行列（問題）
8-1
a)
\[
|\psi (t)>=e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+x|+z>|+x>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-x|+z>|-x>
\]
\begin{eqnarray*}
A_-(t)&=&
<-z|\psi (t)>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+x|+z><-z|+x>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-x|+z><-z|-x>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\
&=&
-i\sin \frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}
\[
P_-(T)=|A_-(T)|^2=\sin ^2\frac{\mu BT}{\hbar }=1
\]
となる最初の$B$は
\[
\frac{\mu BT}{\hbar }=\frac{\pi }{2}
\]
より
\[
B_0=\frac{\pi \hbar }{2\mu T}.
\]
b)
\[
P_-(T/2)=\sin ^2\frac{\mu B_0T/2}{\hbar }=\sin ^2\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}.
\]
8-2
$x-z$平面内で
$z$に関して$45^o$の傾きを持つ軸を
$z'$とおく.
\begin{eqnarray*}
|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z>|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z>|-z'>
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
<+x|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z><+x|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z><+x|-z'>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}R_{y++}(\pi /4)R_{y++}(\pi /4)+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}R_{y-+}(\pi /4)R_{y+-}(\pi /4)\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\cos ^2\frac{\pi }{8}+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}(-\sin \frac{\pi}{8})\sin \frac{\pi}{8}\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}} }{2}-e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}} }{2}\\
&=&
-i\sin \frac{\mu Bt}{\hbar }+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}
確率は
\begin{eqnarray*}
|<+x|\psi (t)>|^2
&=&
\sin ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }+\frac{1}{2}\cos ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }.
\end{eqnarray*}
$<+y|+z'>$などを求める．
\begin{eqnarray*}
R_x(\pi /2)R_y(-\pi /4)&=&
\left( \begin{array}{cc}
\cos \pi /4 & i\sin \pi /4 \\
i\sin \pi /4 & \cos \pi/4
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
\cos \pi /8 & -\sin \pi /8 \\
\sin \pi /8 & \cos \pi /8
\end{array}
\right)
\\
&=&
\left( \begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2} & -\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2} \\
i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2} & -i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}
<+y|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z><+y|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z><+y|-z'>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\cos \frac{\pi }{8}(\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2})\\
&+&
e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}(-\sin \frac{\pi}{8})(-\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2} )\\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }+(\sqrt{2}i-\sqrt{2})\sin \frac{\mu Bt}{\hbar })
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
|<+y|\psi (t)>|^2
&=&
\frac{1}{2}(\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }-\sqrt{2}\sin \frac{\mu Bt}{\hbar })^2+\sin ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}
8-3
a)
\[
i\hbar \frac{dC_1}{dt}=-AC_2,
\]
\[
i\hbar \frac{dC_2}{dt}=-AC_1.
\]
これは(8.46), (8.47)で$E_0=0$とおいたもの．
(8.52)を用いて
\[
|C_1(t)|^2=\cos ^2\frac{At}{\hbar }.
\]
b)
\[
|\psi _{I}>=\frac{b}{2}e^{-\frac{i}{\hbar }At}|+z>-\frac{b}{2}e^{-\frac{i}{\hbar }At}|-z>
\]
\[
|\psi _{II}>=\frac{a}{2}e^{\frac{i}{\hbar }At}|+z>-\frac{b}{2}e^{\frac{i}{\hbar }At}|-z>
\]
c)
常に上向きになっている確率が$1/2$の軸なら$x$軸をとればよい．
\begin{eqnarray*}
|<+x|\psi (t)>|^2&=&|C_1(t)<+x|+z>+C_2(t)<+x|-z>|^2\\
&=&
|\cos \frac{At}{\hbar }\frac{1}{\sqrt{2}}+i\sin \frac{At}{\hbar }\frac{1}{\sqrt{2}}|^2\\
&=&1/2
\end{eqnarray*}
問題文では$1$といっているが．（棚上げ問）
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第７章 振幅の時間依存性（問題）
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第７章 振幅の時間依存性（問題）
7-1
前半）
任意の小さな領域で確率振幅は
\[
e^{-\frac{i}{\hbar }(W+\frac{p^2}{2M}-\mu _zB)t}
\]
と変化する．
$p$は$B$と
\[
W+\frac{p^2}{2M}-\mu _zB=\mbox{一定}
\]
によって関係している．
これにより
\[
\Delta \left( \frac{p^2}{2M}\right) =\frac{p}{M}\Delta p=\mu _z\Delta B.
\]
距離$w$の間に蓄積される位相差は
\[
\Delta \mbox{位相}=\Delta kw =\frac{\Delta p}{\hbar }w =\frac{M}{p\hbar }\mu _z\Delta Bw .
\]
この位相の進みは
\[
\Delta x=\frac{\hbar }{p}\Delta \mbox{位相}=\frac{M}{p^2}\mu _z \Delta Bw
\]
だけの波の節の進みに対応する．
\[
\Delta x=D\delta \theta
\]
なので
\[
\delta \theta =\frac{M}{p^2}\mu _z\frac{\Delta B}{D}w\fallingdotseq \frac{M}{p^2}\mu _z\frac{\partial B}{\partial z}w
\]
後半）
(5. 38)より
\[
<+z|+x>=\frac{1}{2}(1+\cos \frac{\pi }{2})=\frac{1}{2},
\]
\[
<0z|+x>=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \frac{\pi }{2}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\]
\[
<-z|+x>=\frac{1}{2}(1-\cos \frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}.
\]
\begin{eqnarray*}
A_+(t)&=&<+x|\psi (t)>\\
&=&<+x|+z><+z|\psi (t)>
+<+x|0z><0z|\psi (t)>
+<+x|-z><-z|\psi (t)>\\
&=&C_+(t)<+x|+z>
+C_0(t)<+x|0z>
+C_-(t)<+x|-z>\\
&=&e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}C_+(0)<+x|+z>
+e^{\frac{i}{\hbar }0 Bt}C_0(0)<+x|0z>
+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}C_-(0)<+x|-z>\\
&=&\frac{1}{4}e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}
+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\\
&=&
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{i}{\hbar }\mu Bt
\end{eqnarray*}
よって時刻$t$において$+x$状態に発見される確率は
\[
P_+=\frac{1}{4}(1+\cos \frac{i}{\hbar }\mu Bt)^2
\]
確率は$\frac{1}{\hbar }\mu Bt=2\pi $のときに$\frac{1}{\hbar }\mu Bt=0 $
と同じ値に戻る．よって歳差運動の周期は
\[
T=\frac{h}{B\mu }
\]
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