第８章 ハミルトニアン行列（問題）

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第８章　ハミルトニアン行列（問題）

8-1

a)
\[
|\psi (t)>=e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+x|+z>|+x>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-x|+z>|-x>
\]

\begin{eqnarray*}
A_-(t)&=&
<-z|\psi (t)>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+x|+z><-z|+x>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-x|+z><-z|-x>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\
&=&
-i\sin \frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}

\[
P_-(T)=|A_-(T)|^2=\sin ^2\frac{\mu BT}{\hbar }=1
\]

となる最初の$B$は
\[
\frac{\mu BT}{\hbar }=\frac{\pi }{2}
\]
より
\[
B_0=\frac{\pi \hbar }{2\mu T}.
\]

b)

\[
P_-(T/2)=\sin ^2\frac{\mu B_0T/2}{\hbar }=\sin ^2\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}.
\]

8-2

$x-z$平面内で
$z$に関して$45^o$の傾きを持つ軸を
$z'$とおく.

\begin{eqnarray*}
|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z>|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z>|-z'>
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
<+x|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z><+x|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z><+x|-z'>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}R_{y++}(\pi /4)R_{y++}(\pi /4)+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}R_{y-+}(\pi /4)R_{y+-}(\pi /4)\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\cos ^2\frac{\pi }{8}+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}(-\sin \frac{\pi}{8})\sin \frac{\pi}{8}\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}} }{2}-e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}} }{2}\\
&=&
-i\sin \frac{\mu Bt}{\hbar }+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}

確率は
\begin{eqnarray*}
|<+x|\psi (t)>|^2
&=&
\sin ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }+\frac{1}{2}\cos ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }.
\end{eqnarray*}

$<+y|+z'>$などを求める．
\begin{eqnarray*}
R_x(\pi /2)R_y(-\pi /4)&=&
\left( \begin{array}{cc}
\cos \pi /4 & i\sin \pi /4 \\
i\sin \pi /4 & \cos \pi/4
\end{array}
\right)
\left( \begin{array}{cc}
\cos \pi /8 & -\sin \pi /8 \\
\sin \pi /8 & \cos \pi /8
\end{array}
\right)
\\
&=&
\left( \begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2} & -\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2} \\
i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2} & -i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray*}

よって
\begin{eqnarray*}
<+y|\psi (t)>
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<+z'|+z><+y|+z'>+e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}<-z'|+z><+y|-z'>\\
&=&
e^{-\frac{i}{\hbar }\mu Bt}\cos \frac{\pi }{8}(\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2})\\
&+&
e^{\frac{i}{\hbar }\mu Bt}(-\sin \frac{\pi}{8})(-\frac{\sqrt{1-1/\sqrt{2}}}{2}+i\frac{\sqrt{1+1/\sqrt{2}}}{2} )\\
&=&
\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }+(\sqrt{2}i-\sqrt{2})\sin \frac{\mu Bt}{\hbar })
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
|<+y|\psi (t)>|^2
&=&
\frac{1}{2}(\cos \frac{\mu Bt}{\hbar }-\sqrt{2}\sin \frac{\mu Bt}{\hbar })^2+\sin ^2\frac{\mu Bt}{\hbar }
\end{eqnarray*}

8-3

a)

\[
i\hbar \frac{dC_1}{dt}=-AC_2,
\]
\[
i\hbar \frac{dC_2}{dt}=-AC_1.
\]
これは(8.46), (8.47)で$E_0=0$とおいたもの．
(8.52)を用いて
\[
|C_1(t)|^2=\cos ^2\frac{At}{\hbar }.
\]

b)
\[
|\psi _{I}>=\frac{b}{2}e^{-\frac{i}{\hbar }At}|+z>-\frac{b}{2}e^{-\frac{i}{\hbar }At}|-z>
\]

\[
|\psi _{II}>=\frac{a}{2}e^{\frac{i}{\hbar }At}|+z>-\frac{b}{2}e^{\frac{i}{\hbar }At}|-z>
\]

c)
常に上向きになっている確率が$1/2$の軸なら$x$軸をとればよい．

\begin{eqnarray*}
|<+x|\psi (t)>|^2&=&|C_1(t)<+x|+z>+C_2(t)<+x|-z>|^2\\
&=&
|\cos \frac{At}{\hbar }\frac{1}{\sqrt{2}}+i\sin \frac{At}{\hbar }\frac{1}{\sqrt{2}}|^2\\
&=&1/2
\end{eqnarray*}

問題文では$1$といっているが．（棚上げ問）

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