16章の問題
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16-1
dx=γ(dx'+βcdt')
dt=γ(dt'+βdx'/c)
dx/dt=(dx'+βcdt')/(dt'+βdx'/c)
=(v_x'+βc)/(1+βv_x'/c)
dy/dt=dy'/γ(dt'+βdx'/c)
=v_y'/γ(1+βv_x'/c)
16-2
v_x'=(vx-V)/(1-Vv_x/c^2)
dv_x'/dt'=d((vx-V)/(1-Vv_x/c^2))(1-V^2/c^2)^(1/2)/(dt-Vdx/c^2)
=((1-v_x V/c^2)dv_x+(v_x-V)(dv_x)V/c^2 )(1-V^2/c^2)^(1/2)/((1-v_x V/c^2)^2(dt-Vdx/c^2))
=(dv_x/dt)(1-V^2/c^2)^(3/2)/(1-V v_x/c^2)^3
16-3
m_u=m_0/\sqrt{1-(u/c)^2}とする．
m_v=m_0/\sqrt{1-(v/c)^2}
m_w=m_0/\sqrt{1-(w/c)^2}
m_w/m_v=\sqrt{1-(v/c)^2}/\sqrt{1-(w/c)^2}
これに
v^2=u^2+w^2(1-u^2/c^2)
を代入して
\sqrt{1-(1/c)^2(u^2+w^2(1-u^2/c^2))}/\sqrt{1-(w/c)^2}
=\sqrt{1-(u/c)^2}\sqrt{1-(w/c)^2}/\sqrt{1-(w/c)^2}
=\sqrt{1-(u/c)^2}
16-4
衝突する様子を速さwで動く座標系から見ると両方の粒子が
同じ速さで反対に進むように見えるとする．
4c/5=(w+w)/(1+w^2/c^2)
(1+w^2/c^2)4c/5=2w
4c^2+4w^2=10cw
w=5c\pm \sqrt{25c^2-16c^2}/4
=(5c\pm 3c)/4
=2c,c/2
よって
w=c/2
M=2m_w
=2 m_0/\sqrt{1-w^2/c^2}
=2 m_0/\sqrt{1-1/4}
=4m_0/\sqrt{3}
16-5
速さwで衝突するとすると，
4m_p c^2=2 m_w c^2
より
4=2/\sqrt{1-w^2/c^2}
よって
4c^2-4w^2=c^2
w^2=3c^2/4
よって
v=(w+w)/(1+w^2/c^2)
=4\sqrt{3}c/7
m_vc^2=m_p c^2/\sqrt{1-v^2/c^2}
=7m_p c^2
=6m_p c^2+m_p c^2
よって衝突する陽子の運動エネルギーは6m_p c^2．
15章の問題
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- 15-1
x'=(x-ut)/(1-(u^2/c^2))^(1/2)
=γ(x-βct)
y'=y
z'=z
t'=(t-(ux/c^2))/(1-(u^2/c^2))^(1/2)
=γ(t-βx/c)
これをx,y,z,tに関して解く．
y=y'
z=z'
{{x'},{y'}}={{γ,-γβc}{-γβ/c,γ}}{{x},{y}}
より
{{γ,-γβc}{-γβ/c,γ}}の逆行列を求めればよい．
γ^2(1-β^2)=1に注意すると
{{x},{y}}={{γ,γβc}{γβ/c,γ}}{{x'},{y'}}
15-2
L'を光時計の長さとする．
S’系からみると
t'=2L'/c
で一回時を刻む．
S系からみたとき光時計の長さLは
L=L'(1-u^2/c^2)^(1/2)
L+ut1=ct1
L-ut2=ct2
S系からみるとt=t1+t2で一回時を刻む．
t=t1+t2
=L/(c-u)+L/(c+u)
=2Lc/(c^2-u^2)
=2L'(1-u^2/c^2)^(1/2)c/(c^2-u^2)
=2L'/(c(1-u^2/c^2)^(1/2))
=t'/(1-u^2/c^2)^(1/2)
15-3
(a)
5km/v=0.000016835s
私系から見た寿命は
t0=16.8μs
中間子系から見た寿命t0'は
t0'/(1-(v/c)^2)^(1/2)=16.8 μs
t0'=(1-(v/c)^2)^(1/2)16.8 μs
=2.37μs
(b)
S'系でみた時刻t0'におけるS系の原点の座標
を計算すればよい．図のように名前をつける．
t0'=(1-(v^2/c^2))^(1/2)t0
t0'=t1/(1-(v^2/c^2))^(1/2)
x2'=-vt1/(1-(v^2/c^2))^(1/2)
=-vt0'
=-v(1-(v^2/c^2))^(1/2)t0
=-5km(1-(v^2/c^2))^(1/2)
=-0.7km
15-4
(a)
7.53*10^11*3600kJ=m c^2
より
m=30.12kg
(b)
1sあたり2n個のデューテリウムがヘリウムになるとすると，
1sあたり
n(2*2.0147-4.0039)amu c^2
のエネルギーが使える．
7.58*10^11kWh/(365*24h)=n(2*2.0147-4.0039)amu c^2
よって
n amu=7.58*10^11kWh/((2*2.0147-4.0039)c^2 365*24h)．
よって一秒当たり
2n*2.0147amu
=2*2.0147*7.58*10^11kWh/((2*2.0147-4.0039)c^2 365*24h)
=0.15g
のデューテリウムが使われる．
重水において酸素がデューテリウムの四倍の重さをしめるから
0.15g+0.15g*4=0.75g
の重水が使われる．
（答えあわない）
15-5
1Auの距離で1.4kW/m^2の仕事率だから
太陽全体では
1.4kW/m^2 4 π(Au)^2
=3.942*10^26W
の仕事率．
１秒当たりmの質量が変換するとすると，
3.942*10^26J=mc^2
m=4.3866*10^9kg
4個のプロトンがヘリウム原子核になるとき
(4*1.00794-4.002602)amu=4.8415*10^-29kg
だけ質量が変化する．
4*4.3866*10^9kg/4.8415*10^-29kg=4*9.05985*10^37
=3.62394*10^38個
のプロトンが１秒あたりに変化している．
（大体あってるっぽい．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%AA%E9%99%BD
での値と比べると．
）
15-6
x=(b^2+c^2t^2)^(1/2)-b
v=dx/dt
=c^2t/(b^2+c^2t^2)^(1/2)
m=m0/(1-v^2/c^2)^(1/2)
より
mv=m0v/(1-v^2/c^2)^(1/2)
=m0/(1/v^2-1/c^2)
=m0/((b^2+c^2t^2)/(c^4t^2)-1/c^2)^(1/2)
=m0c^2t/b
よって
F=d(mv)/dt
=m0c^2/b
15-7
(a)
l.y.=365*24*60*60*3*10^8m
y=365*24*60*60s
9.8m/s^2=9.8*(1/365*24*60*60*3*10^8)(365*24*60*60)^2l.y./y^2
=1.03l.y/y^2
(b)
15-6を使う．
m0c^2/b=m0g
b=c^2/g
c=1で計算
v(t):=t/(b^2+t^2)
=t/(1/g^2+t^2)
=gt/(1+(gt)^2)
に
g=1.03
t=5
を代入して
v=0.9817
\int_0^5v(t)dt
=[(1+(gt)^2)^(1/2)]_0^5
=4.25l.y.
