２４章の問題
24-1
運動方程式は
$m\frac{d^2x}{dt^2}=-\gamma \frac{dx}{dt}$
a)$\dot{v}=-\frac{\gamma }{m}v$. 初速を$v_0$とすると，
$v=v_0 e^{-\frac{\gamma }{m}}t$.
b)
$x=\int v_0e^{-\frac{\gamma }{m}t}dt=\frac{m}{\gamma }v_0-\frac{m }{\gamma }v$
よって$v=v_0-\frac{\gamma }{m}x$.
24-2
$R\frac{dq}{dt}=\frac{q}{C}=0$に
$q(t)=qe^{\alpha t}$を代入して．
$(\alpha R+\frac{1}{C})qe^{\alpha t}=0$
よって
$\alpha =-\frac{1}{RC}$．
$q(0)/C=V_0$より，
$q=CV_0$
$q(t)=CV_0e^{-\frac{1}{RC}}$.
24-3
傾斜の傾きを$\theta $とする．
運動方程式は$m\frac{d^2x}{dt^2}=mg\cos \theta -\gamma \frac{dx}{dt}$.
a)
最終速度において
$\frac{d^2x}{dt^2}=0$よって
$mg\cos \theta -\gamma \frac{dx}{dt}$.
よって
$v=\frac{mg\cos \theta }{\gamma }$.
b)
$m\dot{v}=F_0-\gamma v$.初速を$v_0$として
定数変化法などを用いて解くと，
$v(t)=(\frac{F_0}{\gamma }e^{\frac{\gamma }{m}t}-\frac{F_0}{\gamma }+v_0)e^{-\frac{\gamma }{m}t}$.
c)
$x(t)=x_0+\int _0^tv(t)dt=x_0+\frac{F_0}{\gamma }t+(v_0-\frac{F_0}{\gamma })\frac{m}{\gamma }(1-e^{-\frac{\gamma }{m}t})$
24-4
a)
$V_0=\frac{q_0}{C}$.
$L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0$・・・（１）.
これを初期条件
$q(0)=CV, \frac{dq}{dt}\Big| _0=0$の下で解く．
$\hat{q}(t)=\hat{q}e^{i\omega t}$を（１）に代入して．
$-L\omega ^2+1/C=0$.
$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$.
$\hat{q}(t)=qe^{i\Delta +i\omega t}$.
実数部分をとって
$q(t)=q \cos (\Delta +i\omega t)$.
$\Delta ,q$を初期条件から決めると
$q(t)=CV_0 \cos \sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
よって電圧は
$\frac{q(t)}{C}=V_0\cos \sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
b)
$V(t)=V_0\cos \sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
$q(t)=V_0\cos \sqrt{\frac{1}{LC}t}$.これを微分して
$I(t)=-\frac{CV_0}{\sqrt{LC}}\sin \sqrt{\frac{1}{LC}t}=-\frac{C}{L}V_0\sin \sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
$\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}CV_0^2\cos ^2\sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
$\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}CV_0^2\sin ^2\sqrt{\frac{1}{LC}t}$.
和は$\frac{1}{2}CV_0^2$.エネルギー．
24-5
$I(0)=V_0/R$.
$L\frac{d^2q}{dt^2}+q/C=0$
を初期条件$q(0)=0, \dot{q}(0)=V_0/R$の下で解くと
$q(t)=\frac{LC}{R}V_0\sin \frac{1}{LC}t$.
キャパシターにあらわれる最大電圧は
$\frac{q}{C}=\sqrt{\frac{L}{C}}\frac{V_0}{R}$.
24-6
a)
運動方程式は
$m=5$,バネ定数を$k$,磁気減衰が速度の$\gamma $倍に比例するとする．
$m\frac{dx^2}{dt^2}=-\gamma \frac{dx}{dt}-kx$．１０秒で１０回振動するので
$2 \pi =\sqrt{k/m}$．よって
$k=2\pi^2 5=20 \pi^2$．
$x=e^{\alpha t}$を運動方程式に代入して，
$m\alpha^2+\gamma \alpha +k=0$.よって
$\alpha =\frac{-\gamma \pm i\sqrt{4km-\gamma ^2}}{2m}$．よって
$x=e^{-\frac{\gamma t}{2 m}}\cos (\frac{\sqrt{4km-\gamma^2}t}{2m})$．これの角振動数は
$\omega '=\frac{\sqrt{4km-\gamma ^2}}{2m}$．１０回振動するのに$t_0$の時間がかかったとすると，
$\omega 't_0=20 \pi$．よって
$t_0=\frac{20 \pi }{\omega '}$．この間に振幅が半分になるので，
$e^{-\frac{\gamma 20 \pi}{2m\omega '}}=1/2$.よって
$20\pi \gamma =\frac{\omega '\log 2}{10 \pi}$・・・（１）.
$\omega '$の値を代入して整理すると
$\gamma =\sqrt{\frac{4 k m}{400\pi ^2+(\log 2)^2}}=0.693105$．
b)
$T=\frac{2\pi }{\omega '}=1.00006$（答え1.006と違う）
c)
まず$0.05m$になるまでの振動回数を求める．
$e^{-\frac{\gamma t}{2m}}=1/4$これを整理して
$t=2m\log4/\gamma$ ．
振動回数は
$\frac{t}{2\pi /\omega '}$これに（１）を代入して整理すると
$\frac{\log 4}{\log 2}10=20$.
$0.05m$になるまでの振動回数も同様に$\frac{\log 10}{\log 2}10=33.2$.
d)
$T=2 \pi /\omega '$
$x(t)=0.2 e^{-\frac{\gamma t}{2m}}\cos (\frac{\sqrt{4km-\gamma ^2}t}{2m}+d)$とおく．
$\frac{\frac{1}{2}m\dot{x}(0)^2+\frac{1}{2}kx(0)^2}{\frac{1}{2}m\dot{x}(T)^2+\frac{1}{2}kx(T)^2}$
の最大値を求めると$d=1.55$のとき$1.15$．
（答えでは比なのになぜか1.1Wと単位がついている）
24-7
1)
運動方程式は
$ma =-kx-m\gamma v+F$. よって
$ma =-k(x-F/k)-m\gamma v$．
$x_1=x-F/k$とおくと
$m\ddot{x}_1=-kx_1-m\gamma \dot{x}_1$．これを解いて
$x_1(t)=ae^{-\gamma t/2}\cos (\frac{\sqrt{4mk-m^2\gamma ^2}}{2m}t+\delta )$.ここで$a, \delta $は次をみたす．
$x_1(0)=-F/k, \dot{x}_1(0)=0$．よって
$\sin ^2\delta =\frac{\gamma ^2m}{4k},a=\frac{-F}{\cos \delta k}$.
2)
$ma =-kx-m\gamma v$を解いて
$x(t)=a e^{-\gamma t/2}\sin (\frac{\sqrt{4mk-m^2\gamma ^2}}{2m}t+\delta )$.$a, \delta $は次の初期条件を満たす．
$x(0)=0, \dot{x}(0)=J/m$.よって
$\delta =0,a=2J/\sqrt{4mk-m^2\gamma ^2}$.
3)
運動方程式は
$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega _0^2 x=\frac{F_0}{m}e^{i\omega _0t}$.これを$\hat{x}(t)=\hat{x}e^{i\omega _0t}$
とおいて定常解を求めると
$x(t)=\frac{F_0}{\gamma \omega m}\sin{\omega t}$.
外力がないときの運動方程式は
$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega _0^2 x=0$．これを解いて
$x(t)=ae^{-\gamma t/2}\sin (\frac{\sqrt{4\omega ^2-\gamma ^2}}{2}t+\delta )$．一般解は
$x(t)=\frac{F_0}{\gamma \omega _0m}\sin{\omega _0t}+ae^{-\gamma t/2}\sin (\frac{\sqrt{4\omega ^2-\gamma ^2}}{2}t+\delta )$．
$x(0)=0,\dot{x}(0)=0$をみたすには
$\delta =0,a=\frac{2F_0}{\gamma m\sqrt{4\omega ^2-\gamma ^2}}$とすればよい.
b)
運動方程式は．
$\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega _0^2 x=\frac{F_0}{m}e^{i\omega t}$.これを$\hat{x}(t)=\hat{x}e^{i\omega _0t}$
とおいて定常解を求めると
$\hat{x}=\frac{F_0/m}{\omega _0^2-\omega ^2+i\omega \gamma }$.
$|\hat{x}|=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega _0^2-\omega ^2)^2+\omega ^2\gamma ^2}}$を最大にする$\omega $は
$\omega =\pm\sqrt{\omega _0^2-\gamma ^2/2}$．
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２３章の問題
23-1
a)$\hat{V}(t)=\hat{V}(e^{i\omega t}), \hat{q}(t)=\hat{q}e^{i\omega t}$
を$L\frac{d^2\hat{q}(t)}{dt^2}=\hat{V}(t)$に代入して
$Li\omega \hat{I}(t)=\hat{V}(t)$
よって$Z_L=i\omega L$.
b)
$\frac{\hat{q}(t)}{C}=\hat{V}(t)$より
$\frac{1}{i\omega C}\hat{I}(t)=\hat{V}(t)$
$Z_C=\frac{1}{i\omega C}$.
23-2
a)
$L\frac{d^2\hat{q}}{dt^2}+\frac{\hat{q}}{C}=\hat{V}$より
$i\omega \hat{I}+\frac{\hat{I}}{iC\omega }=\hat{V}$.よって
$i(\omega L-\frac{1}{C\omega})\hat{I}=\hat{V}$.
$\hat{Z}=i(\omega L-\frac{1}{C\omega})$.
b)
$\hat{V}=\hat{Z}\hat{I}, \hat{I}=\hat{I_1}+\hat{I_2}, L\frac{d\hat{I}_1}{dt}=\hat{V}, \frac{d\hat{I}_2}{i\omega C}=\hat{V}$
より
$\hat{Z}=\frac{1}{1/(iL\omega)+i\omega C}$
23-3
a)$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-m\gamma \frac{dx}{dt}$
b)
$x=e^{\alpha t}$を運動方程式に代入して，
$(\alpha ^2+\gamma \alpha +\omega _0^2)e^{\alpha t}=0$.よって
$\alpha =-\frac{\gamma }{2}\pm i\sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}}$.よって
$x=e^{(-\frac{\gamma }{2}\pm i\sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}})t}$.
一般解は
$ae^{(-\frac{\gamma }{2}+ i\sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}})t}+be^{(-\frac{\gamma }{2}- i\sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}})t}$
実数解は$a=A-iB,b=\bar{a}$を代入して
$2e^{-\gamma /2}(A\cos \sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}})t+B\sin \sqrt{\omega _0^2-\frac{\gamma ^2}{4}})t)$
c)
$\alpha =-\frac{\gamma }{2}\pm \sqrt{\frac{\gamma ^2}{4}-\omega _0^2}$.
これはどっちも負.
よって振動せずに減衰する.
23-4
$x(0)=x_0, \dot{x}(0)=v_0$
を解いて
$A=x_0, B=(v_0+\frac{\gamma }{2}x_0)\frac{1}{\sqrt{\omega _0^2-\gamma ^2/4}}$
23-5
$A$, $B$を流れる電流を
$I_1$, $I_2$とすると
$2 R \hat{I}=\hat{V}_{in}, R'\hat{I}_2+\frac{\hat{I}_2}{i\omega C}=\hat{V}_{in}$.よって
$\hat{V}_{out}=R\hat{I}-\frac{\hat{I}_2}{i\omega C}=\frac{1}{2}\hat{V}_{in}-\frac{\hat{V}_{in}}{i\omega CR'+1}
=\frac{\hat{V}_{in}}{2}\frac{i\omega CR'-1}{i\omega CR'+1}$.
$\frac{i\omega CR'-1}{i\omega CR'+1}$の絶対値は$1$であり
偏角は$R'$が$0$から$\infty$まで変化すると$\pi$から$0$まで変化する.
23-6
a)
(A)
$\hat{V}_{in}=R\hat{I}_A+\frac{\hat{I}_A}{i\omega C}$より
$\hat{V}_A=\frac{\hat{I}_A}{i\omega C}=\frac{\hat{V}_{in}}{iR\omega C+1}$.
(B)
$\hat{V}_{in}=i\omega L\hat{I}_B+R'\hat{I}_B$より
$\hat{V}_B=R'\hat{I}_B=R'\frac{\hat{V}_{in}}{i\omega L+R'}$.
$\hat{V}_A=\hat{V}_B$として変形すると，
$i\omega L+R'=R'(i\omega RC+1)$.
b)
$\hat{V}_{in}(t)=V_0e^{i\Delta+i\omega t}$
(A)
$I_A(t)=-\omega \rho V_0\cos (\omega t+\Delta +\theta )$
ここで
$\rho ^2=\frac{1}{L^2(\omega _0^4+\gamma ^2\omega ^2)}, \tan \theta =-\frac{\gamma \omega }{\omega _0^2}, \gamma =R/L, \omega _0^2=\frac{1}{LC}$とおいた.
(B)
$I_B(t)=-\omega \rho V_0\cos (\omega t+\Delta +\theta )$
ここで
$\rho ^2=\frac{1}{L^2(\omega ^4+\gamma '^2\omega ^2)}, \tan \theta =\frac{\gamma '}{\omega }, \gamma '=R'/L, \omega _0^2=\frac{1}{LC}$とおいた.
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２２章の問題
22-1
a)$u+iv=ac-bd+(ad+bc)i$より$u^2+v^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.
b)$\frac{v}{u}=\frac{ad+bc}{ac-bd}=\frac{d/c+b/a}{1-(b/a)(d/c)}=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\tan (\alpha +\beta )$
22-2
$u+iv=(a+ib)(c+id)=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\alpha }\sqrt{c^2+d^2}e^{i\beta }=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}e^{i(\alpha +\beta )}$
22-3
$e^{\pm i\theta }=\cos \theta \pm i\sin \theta $
の二式を足して２で割る（引いて２iで割る）
22-4
左辺$=\frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}=$右辺
22-5
$\cos i\theta =\frac{e^{ii\theta }+e^{-ii\theta }}{2}=\cosh \theta$
$\sin i\theta =\frac{e^{ii\theta }-e^{-ii\theta }}{2i}=i\sinh \theta $
$\cosh ^2\theta-\sinh ^2\theta =(\frac{e^{\theta }+e^{-\theta }}{2})^2-(\frac{e^{\theta }-e^{-\theta }}{2})^2=1$
22-6
$\frac{d(e^{\alpha x})}{dx}=\lim \frac{e^{\alpha (x+\Delta x)}-e^{\alpha x}}{\Delta x}=\alpha e ^{\alpha x}\lim \frac{e^{\alpha \Delta x}-1}{\alpha \Delta x}=\alpha e^{\alpha x}$
22-7
a)$(\frac{d}{dx})^ne^x=e^x$
b)$\frac{d^n}{dx^n}(\cos x)\Big| _{x=0}=\left \{ \begin{array}{rl}1 & n=4m \\ 0 & n=4m+1,4m+3 \\ -1 & n=4m+2 \end{array}\right. $,
$\frac{d^n}{dx^n}(\sin x)\Big| _{x=0}=\left \{ \begin{array}{rl}1 & n=4m+1 \\ 0 & n=4m,4m+2 \\ -1 & n=4m+3 \end{array}\right.
$
22-8
$y=\cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$
22-9
$\cos n\theta +i\sin n\theta =e^{in\theta }=(\cos \theta +i\sin \theta )^n$の右辺を二項展開して
実部と虚部を比較.
22-10
a)
$\cos(\theta +\phi )+\sin (\theta +\phi )=e^{\theta +\phi }=e^{\theta }e^{\phi }=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )$の右辺を展開して実部と虚部を比較.
b)絶対値を$B$倍して偏角を$\phi $回す.
22-11
$2=1.8212\cdot 1.0778 \cdot 1.0819 \approx 11^{1/4}11^{1/32}11^{1/128}$よって
$\log _{11}2\approx 1/4+1/32+1/128 =0.289$.
$7=3.3167\cdot 1.8212\cdot 1.0778\cdot 1.0382 \cdot 1.0195 \cdot 1.01585=11^{1/2}11^{1/4}11^{1/32}11^{1/64}11^{1/128}\cdot 1.01585$よって
$\log _{11}7\approx 1/2+1/4+1/32+1/64+1/128 =0.8046$.
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