こんにちは。アセント学習塾の山田です。
もう12月ですね。今年は秋もずっと暑かったせいか、
季節の変化やカレンダーの進み具合がどうもしっくりきません。
中学生は2学期期末テストも終わり、ぼちぼちと返却がされているところです。
中1は今回の数学のテスト範囲に作図が出たところがあります。
昨日は作図の復習としてこんな問題を出題しました。
直線Lの上にあって、AP＋BPが最短となる点Pを作図しなさい。
解説はこのあと。
よくある問題ですね。
点B（点Aでも可）の直線Lに対して線対称な位置に点B’を作り、
点Aと点B’を結んだ線分と直線Lとの交点が点Pになります。
作図の方法は以下の通り。
まずは点Bから直線Lに対して垂線を引きます。
次に直線Lとの交点をHとすると、Hを中心に半径HBとする円を描きます。
そしてその円と先ほどの垂線の交点が点B’になりますので、
点Aと点B’を線分で結んで直線Lとの交点がPです。
三角形PBB’は二等辺三角形でPB＝PB’ですから、
AB’が線分となって最も短いために、AP＋BPも最短となります。
さきほどよくある問題と言ったように、これがオーソドックスな作図になると思います。
ですが、昨日の授業では、ある生徒さんが別のやり方で点Pを作図しました。
点Aと点Bからそれぞれ直線Lに対して垂線を引きます。
そして直線Lとの交点をそれぞれ点I、点Hとすると、
点Aと点H、点Bと点Iを線分で結びその交点を点Jとします。
点Jからも直線Lに対して垂線を引くと、直線Lとの交点が求めるべき点Pになります。
最初に私がこの作図を見たときに、一般的な解法でなかったために
しばらく正解かどうかわかりませんでした。
自分で作図しなおしてようやく確かに正解だとわかりました。
先ほど書いた、二等辺三角形を利用してAP＋BPが最短となる、という
理屈が分かるようになっている図ではないのですが、
中3の相似比を利用して、1つ目の作図の点Pと2つ目の作図の点Pは一致します。
数学は無駄の少ない解法を求めがちですが、新たな視点を発見することも大切です。
生徒さんの独創的な考え方は大歓迎です。ぜひお待ちしております。