平行内積

皆さんは「平行内積」と言うものを

知っているだろうか？

「内積なら聞いたことあるけど・・・」

というあなた！

わたしたちがよく使っている内積は、

「内積＝０だと直交」ですよね。

だから、「直交内積」です。

直交があるなら平行も・・・

というわけで、内積の平行版、

「内積＝０なら平行」というのが「平行内積」です。

定義

２つのベクトルｘ＝（a,b），ｙ＝（c,d）に対して、

ｘとｙの平行内積とは、

　　　ｘ★ｙ＝ad-bc

で定められる量である。

　　　ふつうの内積はｘ・ｙでした。

　　　　　平行内積では「・」の代わりに「★」を使ってみましょう。

　　　　　それはいいとして、

　　　　　ad-bcってどこかでみたような？

　　　　　そうです。行列式です。

これを内積といっていいのか？

あるいは、なぜ内積と言うのか？

その理由としては、

　（１）　（ｘ＋ｙ）★ｚ＝ｘ★ｚ＋ｙ★ｚ

　（２）　（αｘ）★ｙ＝α（ｘ★ｙ）

　（３）　★は、2つのベクトルから実数への写像である

といった内積と同じ性質があるためである。

しかし、交換法則は成り立たない。

　（４）　ｘ★ｙ＝－ｙ★ｘ

ｘとｙをひっくり返すと、マイナスが付いてしまう。

マイナスが付かなければ、正真正銘の交換法則だが、

マイナスが付くので、“交換法則もどき”といったところ。

まあ、抽象的な話はこの辺にして、

内積＝０のときホントに平行になるのか見ていこう。

　ｘ★ｙ＝０　すなわち　ad－bc＝０

参考書等でよく勉強している人は、これが

ベクトルｘとｙが平行であるための条件であることを

知っているだろう。

しかし、高校時代の筆者も含め、

「そんなことは覚えてないよ」という人のために、

ちょっと説明しておく。

もし、c≠0、d≠0ならば、上の式は、

　　　a／c＝b／d　（＝ｋとおく）

すると、ｘ＝ｋｙとなり、ｘ//ｙ（ｘとｙは平行）。

ｃ＝0やｄ＝0の場合も平行か零ベクトルであることが分かる。

（零ベクトルが出てくると、平行とはいえないが、

通常の内積で、直交のときも零ベクトルは出てくるので気にしない。）

したがって、

　ｘ★ｙ＝０　⇔　ｘとｙは平行　または　少なくとも一方が零ベクトル

という特徴づけができる。

これが平行内積という所以である。

また、面白いことに、

平行内積には、直交内積に対して

まさに双対的ともいうべき公式が存在する。

要するに、次の公式を見てもらえば、

「直交内積と平行内積はペア概念だ」と思われるでしょう～

直交内積に

　　ｘ・ｙ＝|ｘ||ｙ|cosθ

という公式があるように、

平行内積には、

　　ｘ★ｙ＝|ｘ||ｙ|sinθ

という公式が存在する。（すごい！）

直交はcos、平行はsinというわけか。

平行内積を使って書いてあると、

未知のものという気がするが、

実は、この公式も、

参考書等をよく勉強している人にはお馴染みである。

ｘ＝（a,b），ｙ＝（c,d）とすれば、

2つのベクトルｘ、ｙではさまれた三角形の面積Sは

　　S＝1/2・|ad-bc|

　　S＝1/2・|ｘ||ｙ|sinθ

と表せた。ここからSを消去すれば

上の平行内積の公式そのものが出てくる。

上の式（三角形の面積は行列式の半分）は、

下に比べてマイナーではないかと思うので

一応以下に証明（説明）する。

この式は、昔の過程では当たり前の式だったみたいだが

（昔も昔、まだ幾何学が高校で大事にされていた頃。戦前？）、

筆者はあまり知らなかった。

聞いたことはあったかもしれないが、

覚えるのは嫌いだったので、倦厭した。

＜証明（説明）＞

たとえば、下図のような位置に

ｘ＝（a,b）とｙ＝（c,d）があるとき、

ad-bcは水色の部分の面積になる。

（でっかい長方形adから、

小さい長方形bc（白く抜かれている所）を引いた。）

水色の半分が、平行四辺形の半分に等しいことを

示そう。

水色を半分にした。

等積変形により、

よって、示された。

ｘ、ｙが他の位置関係にあるときは、

どうも、同じように、とはいかない。

（たとえば、c＜aのとき。）

しかし、省略する。

こうして、

平行内積は市民権を得た。

　「平行内積」という語は、ここだけのものである。

　　本には書いていないし、そんなことを言う人もいないだろう。

　　しかし、以上の話から、「平行内積」と呼ぶのも尤もだと、

　　納得いただけたのではないだろうか。

　　この平行内積は、世間の語でいうと、

　　２つのベクトルを並べてできる行列の行列式であり、

　　２つのベクトルにそれぞれｚ成分を付け足した

　　２つの空間ベクトルの外積のｚ成分である。

　　　(a,b,p)×(c,d,q)＝(bq-pd，pc-aq，ad-bc)

素因数の積

自然数ｎの素因数の積をｆ（ｎ）で表す。

ただし、ｆ（１）＝１とする。

たとえば、

　　　ｆ（８）＝２、ｆ（12）＝６

８の素因数は２、12の素因数は２と３だからね。

このｆを確か“オイラー関数”といったはず。。

問題

ｍ、ｎを自然数、ｄをｍ、ｎの最大公約数とする。

このとき、以下の等式が成り立つことを示せ。

　　　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）＝ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）

誤答例

ｐ_i、ｑ_j、ｒ_kを素数、

a_i、b_j、c_kを自然数、

i=1,...,s、j=1,...,t、k=1,...,uを番号として、

　　　ｍ＝ｐ_1＾a_1・・・ｐ_s＾a_s・ｑ_1＾b_1・・・ｑ_t＾b_t

　　　ｎ＝ｐ_1＾a_1・・・ｐ_s＾a_s・ｒ_1＾c_1・・・ｒ_u＾c_u

と表せる。

（ｄ＝ｐ_1＾a_1・・・ｐ_s＾a_sってことです）

すると、

　　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）＝ｐ_1・・・ｐ_s・ｐ_1・・・ｐ_s・ｑ_1・・・ｑ_t・ｒ_1・・・ｒ_u

　　　　　　　　（＝Πｐ_i・Πｐ_i・Πｑ_j・Πｒ_k）

　　ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＝ｐ_1・・・ｐ_s・ｑ_1・・・ｑ_t・ｐ_1・・・ｐ_s・ｒ_1・・・ｒ_u

　　　　　　　　（＝Πｐ_i・Πｑ_j・Πｐ_i・Πｒ_k）

よって、成り立つ。□

これは、おかしい。

たとえば、

ｍ＝８、ｎ＝12とすると、

　　　ｍ＝２＾3、ｎ＝２＾2・３、ｄ＝２＾2

ｐ、ｑ、ｒは、

　　　ｐ_1＝２、ｑ_1＝２、ｒ＝３

上の証明に従うなら、

　　　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）＝２・２・２・３

　　　ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＝２・２・２・３

となるが、

よく考えると、

　　　ｆ（ｍ）＝ｆ（８）＝２、ｆ（ｎ）＝ｆ（１２）＝６

だから、

　　　ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＝２・２・３

のはずである。

上の証明で、

　　　ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＝・・・

の式は誤りである。

ｐ_iとｑ_jの中に同じ素数がありうること

（ｍ＝８、ｎ＝12とすれば、ｐ_1=ｑ_1=２）

を失念している。

同様の理由で、上の証明で

　　　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）＝・・・

の式も誤りである。

解答例

まず次のことに注意する。

（１）ｍがｎで割り切れるときｆ（ｍｎ）＝ｆ（ｍ）

（２）ｍとｎが互いに素であるときｆ（ｍｎ）＝ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）

ｍ＝ｄｍ’と書く。

ｄとｍ’の最大公約数をｖとすると

ｍ’＝ｖｍ”であり、ｄとｍ”は互いに素。

ｎ＝ｄｎ’と書く。

ｄとｎ’の最大公約数をｗとすると

ｎ’＝ｖｎ”であり、ｄとｎ”は互いに素。

また、

ｄはｍとｎの最大公約数だから、ｍ’とｎ’は互いに素。

よって、

それぞれｍ’、ｎ’の約数である、ｍ”とｎ”も互いに素。

　　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）

　＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄｍ’ｄｎ’）

　＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄｍ’ｎ’）　（∵ｄはｄで割り切れる）

　＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄｖｍ”ｗｎ”）

　＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄｍ”ｎ”）　（∵ｖとｗはｄの約数）

　＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄｍ”）ｆ（ｎ”）

　　（∵ｎ”はｄ、ｍ”とそれぞれ互いに素だからｎ”はｄｍ”と互いに素）
　＝ｆ（ｄｍ”）ｆ（ｄｎ”）　（∵ｄとｎ”は互いに素）

　＝ｆ（ｄｖｍ”）ｆ（ｄｗｎ”）　（∵ｖ、ｗはｄの約数）

　＝ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）　　□

上の図は、V字で最大公約数を、

曲線矢印で最大公約数を取り去った残りを

表しています。（残り物を吐き出すイメージ）

約数とか互いに素とか、頭の中だけで考えてると

ややこしいので、図で書くと多少わかりやすいかな？

解答例では、素因数を明示しない形で

答案を書きましたが、

誤答例のように素因数を使って

書くこともできます。

上の誤答例は添え字がいっぱいで

「読む気がしない」という人のために、

誤答例を、素因数を使わずに書いてみましょう。

誤答例（その２）

　ｍ＝ｄｍ’

　ｎ＝ｄｎ’

と表せる。すると、

　ｆ（ｄ）ｆ（ｍｎ）＝ｆ（ｄ）ｆ（ｄ）ｆ（ｍ’）ｆ（ｎ’）

　ｆ（ｍ）ｆ（ｎ）＝ｆ（ｄ）ｆ（ｍ’）ｆ（ｄ）ｆ（ｎ’）

よって、成り立つ。□

素因数を書いているか書いてないかではなく、

　ｄとｍ’（あるいはｄとｎ’）が互い素とは限らない

というところがポイントです。

1/p+1/q=1

高校ではあまりでてきませんが、

という関係を満たすｐ、ｑを扱うことが

しばしばあります。

たとえば、

　　ｐ＝2、ｑ＝2

はこの関係を満たしています。

高校で出て来そうな感じに言うと、

　　　ｐとｑは調和平均が1

ということになります。

「調和平均てなんだ？」と思った方も

おられるのではないでしょうか。

実は、筆者もよく知りません。

昔の記憶を辿ると、

教科書の隅にちょっと載ってて、

先生が「興味のある人は考えて見てください」

と言ったので、

家に帰って読んで見たものの、

よくわからなかった覚えがあります。

しかし、今では（昔から？）

歴とした高校数学の一員のようです。

で、

このｐ、ｑとは、要するにどういう数なのか

ハッキリさせたいと思います。

ただし、

調和平均がドウノコウノということではなく、

大小関係や増減、要するにグラフを

考えたいと思います。

さっきも言ったように、

筆者は勉強不足で、調和平均はよく知りません。

Hardy Littlewood Polyaを読めば

いろいろ書いてるっぽいですが、

恐ろしい本だという噂なので、読んでません。

しかし、

グラフなら、

高校レベルです。

問題．

点（ｘ、ｙ）が次の関係を満たすとき、

点（ｘ、ｙ）の軌跡を図示せよ。

以下、解答です。

＜解＞

両辺にｘｙを掛けると

　　　ｙ＋ｘ＝ｘｙ

ｘ、ｙを移項して両辺に１を加えると

　　　ｘｙ－ｘ－ｙ＋１＝１

左辺を因数分解すると

　　　（ｘ－１）（ｙ－１）＝１　（整数問題の解法！）

これは、

　　　ｘｙ＝１

が表す図形をｘ軸方向に１、ｙ軸方向に１だけ

平行移動したものである。

ｘｙ＝１とは、ｙ＝１／ｘのことだから、

となる。

あと、注意ですが、

ｘ、ｙはもともと分母にあったので

　　　（ｘ、ｙ）≠（0，0）

です。よって、原点は白抜きになります。□

それと、

この問題はこれでいいのですが、

普通は、ｐ、ｑはともに正のときを考えるので、

　　　ｐ＞１，ｑ＞１

です（さもなくば逆数を足したら１を超える！）。

また、場合によっては、

　　　ｐ＝１のとき、ｑ＝∞

　　　ｑ＝１のとき、ｐ＝∞

と約束することもあります。

まあ、この無限大はどういう意味で使ってるか

ハッキリさせないと？？なので、

参考程度に思っといて下さい。

そういうわけで、

上の関係を満たすｐ、ｑは

反比例の関係にあることがわかりました。

（ちょっとずれているから（平行移動してるから）

本当は反比例とはいわないけど、

イメージはそんな感じ。）

案外身近な関係だったわけです。