因数分解の手順

高校受験お疲れさまでした。

発表はそろそろでしょうか？

高校に入ると、数学は“数学Ⅰ”と“数学A”の

二つになります。数学二倍です！

二つに分かれると、誰しも

「それぞれどう違うのだろう？」と分析するようになります。

「物理と化学ってどう違うの？」みたいな。

数Ⅰは“計算”、数Aは“センス”という感じでしょうか。

数Ⅰはマニュアルでなんとかなるが、

数Aはセンスのある人はいいけど、ない人はいろいろ

考えないといけないと思います。

数Aは検算（確かめ算）ができないとも言えるでしょう。

数Ⅰで最初にやるのが、

　　因数分解

です。

ホントは、整式の計算とかが先ですが、

「よくわからん」となるのは因数分解が最初でしょう。

という訳で、今回は因数分解についてです。

因数分解を一通り勉強した人向けに

より難しい因数分解をするための手順を紹介します。

まずは、次の問題に挑戦してみましょう？

これができたら、（少なくとも高校レベルでは）

因数分解熟練者だと思います。

（こんな問題は試験ではでないと思うけど・・・）

問題１（次数が高い）

を因数分解せよ。

問題２（文字が多い）

を因数分解せよ。

できなかった人のために、

以下の因数分解マニュアルがあります。

ただし、マニュアルは、“大きな流れ”に対する指針であって、

細かいところは各自にゆだねられています。

係数に文字を含む「たすき掛け」、1文字三次式の因数分解など

教科書傍用問題集にレベルのことは自在に使えこなせなる

ことが前提です。

以下マニュアルです↓

＜因数分解の手順＞

①共通因数でくくる

②最低次の文字について整理する

③係数を因数分解する

※③の「・・・因数分解する」でも、

　　①②の手順をマニュアルとして使えます。

以上です。

これを覚えておけば、複雑な因数分解にであっても

基礎さえしっかりしておけば、なんとかなります。

これに従って、問題１、問題２を解きましょう。

問題１の解答

第１イコール：　最低次の文字ｙについて整理　②

第２イコール：　各係数を因数分解　③

第３イコール：　共通因数（ｘ＋３）でくくる　①

第４イコール：　係数を因数分解　③

第５イコール：　｛　｝内を因数分解

問題２の解答

第１イコール：　最低次の文字ｚについて整理　②

第２イコール：　係数を因数分解　③

第３イコール：　共通因数（ｘ＋２）でくくる　①

第４イコール：　｛　｝内、ｚ＾0の係数を因数分解する　③

第５イコール：　｛　｝内を因数分解

楕円の基礎問題 解答

以前、楕円の基礎問題として、

問題

楕円上の2点を結んで出来る線分（弦）を考える。

弦のうち長さが最大のものは、楕円の長軸である

ことを証明せよ。

ただし、楕円とは、与えられた2点（焦点）からの

距離の和が一定である点の集合のことをいう。

また、長軸とは、2つの焦点を通る弦のことである。■

というものを載せ、ほったらかしになっていた。

解答を書いておく。

解答

まず、以下のことに注意する。

　四角形において、

　周の長さは、ひとつの対角線の長さの2倍より大きい。

たとえば、下図において、

　　（周の長さ）＞（対角線の長さの2倍）

　　　a+b+c+d＞2e

ということである。

[証明]

三角形adeにおいて、a+d＞e

三角形bceにおいて、c+d＞e

辺々足すと、a+b+c+d＞2e　□

では、楕円の問題の証明にとりかかろう。

下図のように、楕円の長軸でない弦eを一本引き、

それを対角線とし、焦点を頂点にもつ四角形abcdを考える。

「周＞2対角線」より、a+b+c+d＞2e　・・・①．

ところで、

楕円の定義より、

a+b+c+dは長軸の長さの2倍に等しい。

[証]

とすると、

楕円の定義より、a+b＝p+p+q、c+d＝r+r+q

辺々足して、a+b+c+d＝2(p+q+r)　・・・②．

ここで、p+q+rは長軸の長さだから、

　　　a+b+c+d＝（長軸の2倍）　□

よって、①、②より

　　2(p+q+r)＞2e

となり

　　p+q+r＞e　

すなわち

　　（長軸の長さ）＞（長軸でない弦の長さ）

したがって、長さが最大の弦は長軸であることが示された。■

が、

ほんとは、上で考えたような四角形ができるとは限らない。

たとえば、

の場合、弦は四角形（へこんだ四角形）の外に出てしまって、

対角線と呼べるのか怪しい。

しかし、この場合でもほぼ同様に証明できる。

　　（四角形の周）＞（対角線の2倍）

をどうやって証明したかを思い出すと、

四角形を2つの三角形に分けて考えていた。

したがって、三角形さえあれば、ほとんど同様の性質が成り立つ。

実際、上図で

三角形adeについて、a+d＞e

三角形bceについて、b+c＞e

辺々足して、a+b+c+d＞2e

となるから、同じ式が成り立っている。

また、弦がひとつの焦点を通る場合は、

のように、三角形は1つしかできない。

しかし、この場合も、ちょっと考えれば、

　　a+b+c+d＞2e

が成り立つことがわかるので問題ない。

a+d＞e、b+c＝eより、a+b+c+d＞2eやね。

難問解法のテクニック 矢野健太郎

難問解法のテクニック　数Ⅰ・ⅡB

改訂版

著者　矢野健太郎

科学新興社

昭和41年　昭和44年（改訂版）

家の倉庫にあったのを発見しました。

（といっても何年も前の話ですが。）

蔵書印が押してあるものの、

何の漢字なのか判読できず、

家の人に聞いても皆知らないので、

誰の本なのか、なぜ倉庫にあったのか不明です。

今のところ、親が、難関大を受験した親戚から

譲り受けたのではないか、という説が有力です。

「難問」と冠しているだけあって

難問ばかり載っています。

現代の受験に使えるかどうかはよくわかりませんが、

本自体は良いものと思います。

筆者は最近少しずつこの本に取り組んでいます。

チャートや学校で買う参考書との違いは、

著者のコメントが書かれてあることです。

探せば、コメントのある数学参考書は

珍しくないかもしれませんが、この本では、

一人の数学者による、時代を感じさせる、

ユーモアのある、格調高い（？）コメントに出会えます。

　「〔A〕の（１）だけでは手もつけられまい」

　「残念だがこの方針はボツにする」

　「分数方程式の定石にしたがって」

　「具体化の道はないと洞察して」

　「～の変形がますます魅力となるが」

など、ペラペラめくるだけですぐ見つかります。

もちろん、基本的には理路整然とした解答例が

書いてあるのですが、［解答］の前の[テクニック］

のところに、しばしばこのようなコメントがあり、

著者が、問題をどのような思考を経て解いているかを

垣間見ることができます。

単に、解答や解放のポイントを書いてあるだけよりも、

うまくいかない解法や、うまくいく解法にたどり着くときの

心構え・気持ちに触れられているのは、

学習者が自分で問題を解くときの参考になります。

解法を知っていること、覚えていることも大事ですが、

どんな気持ちでその解法を思いつくか、採用するか、

といったことが、実際に問題を解くときには重要です。

数学ができる人としての著者の頭の中を体験することで、

よりよい思考に近づける気がします。

さて、この問題集は、A５で青チャートの半分くらいの

厚さです。比較的簡単な問題もちょっと混じっていますが、

難問（例題）195題と、その各々に演習問題が付いています。

大学の入試問題が多いですが、出典が書いてないのも

あります。

一題につき１，２ページなので、

チャートと似たようなもんですが、厚さが半分なので、

解答は完結です。

例題は、さっき書いたようなコメントが付いてたり

付いてなかったりする、詳しい解説がついていますが、

演習問題は、巻末にヒントと簡潔な解答が載っているだけです。

まあ、「難問」を解くような人には、このくらいの解説で十分

ということでしょうか。

著者は「はしがき」で、「以前出版した『解法のテクニック』で

十分だと思うが、要望があるので刊行した」との旨を

述べています。

ですから、本書は意欲のある人向けの「そこまでせんでも・・・」という

感じの本なのでしょう。

筆者も、今だから読めるのであって、受験生のときに

理解できたか言われるというと、自信がありません。

「はしがき」ついでに、「改訂版のはしがき」のことも

書いておくと、そこで著者は

「最近の問題を取り入れて云々」と述べています。

つまり、この本は、どの時代にも通用することを目指して

書かれたものではなく、当時の出題状況を反映して

編纂されたものだということです。

したがって、現代の傾向には合わないことが予想されます。

しかし、高校数学ではいつの時代も、同じようなことを

教えていながら、入試の出題傾向が変わるというのは

どういう訳なのでしょう？

筆者は、現在の入試がどういう出題傾向なのか

よく知らないし、いままで知っていたこともないので

こうしたことは謎です。

ところで、新課程になり、複素平面が復活しました。

他方、残念なことに行列は消えたようです。　）さよ～なら～

Accademia Nutsとしても複素平面に対応していきたい

のですが、手持ちの参考書が旧課程ものだったので、

どうしようかと思っていましたが、更に旧課程の

この本が役立っています。

複素平面に関して、面白いことがあったら

また記事にします。