【問題】
正ｎ角形の頂点を結んでできる
二等辺三角形は何個あるか？
【注意】
問題を考える前に、
二等辺三角形に関する用語を確認しておこう。
2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
等しい辺を等辺、残りのもうひとつの辺を底辺という。
等辺がなす角を頂角、等辺の交点を頂点という。
等辺と底辺がなす角を底角という。
「頂点」は多角形（特に三角形）の「頂点」と紛らわしいので、
この記事では、二等辺三角形の「頂点」といえば
上図の頂点のことであって、底角のところの頂点ではないとする。
【数え方】
いきなりｎだと難しいので、
とりあえず、正七角形の場合を考える。
いきなりｎで大丈夫な人は飛ばしてください。
正七角形の七個の頂点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇとする。
まず、Ａを頂点とする等辺三角形が何個あるか数える。
これは簡単に数えられて、３個である。（下図）
ところで、他の点（Ｂ，Ｃ，・・・）を頂点とする二等辺三角形も
それぞれ、３個ずつある。
よって、正三角形の頂点を結んで出来る二等辺三角形は
３×７＝２１個である。
ここで、注意しなければならないのは、
だぶって数えていないか？である。
つまり、Ａを頂点とし、かつＢを頂点とするような二等辺三角形は
ないのか？ということである。
正七角形の場合はないから上の21個でいいが、
たとえば、正六角形では、だぶりが出てくる。
上図の青い三角形は、二等辺三角形（正三角形！）であるが、
Ａ，Ｃ，Ｄともに二等辺三角形の頂点と見ることができる。
よって、この三角形は３回数えられることになるので、
この三角形に関しては、個数を－２しないといけない。
そして、だぶりがあるとすれば、それは二等辺三角形が
正三角形のときである。
（二等辺三角形の頂点が複数ある二等辺三角形は、
正三角形しかないからである。）
正七角形は、頂点を結んでも二等辺三角形はできないので、
だぶりはない。
正ｎ角形の頂点を結んだとき正三角形ができるのは、
ｎが３の倍数のときであり、
そのときできる相異なる正三角形は、ｎ／３個である。
よって
【数え方（正ｎ角形場合）】
正ｎ角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，・・・とする。
まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［（ｎ－１）／２］個。
各頂点について同じことが言えるので、
とりあえず、［（ｎ－１）／２］×ｎ個と計算する。（［ ］はガウス記号）
そのうち、正三角形はだぶって数えてしまっているのでそれを除く。
正三角形は、
ｎが３の倍数でないときは、０個。
ｎが３の倍数のときは、ｎ／３個で、それぞれ３回ずつ数えている。
よって、
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形の個数は、
ｎが３の倍数でないとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ 個。
ｎが３の倍数のとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ－２ｎ／３ 個。
【補足】
だぶりのことは考えたが、反対に、数えもらしはないだろうか？
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形は、
Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・のいずれかを頂点に持つ。
よって、上で数えたなかのどこかに入っているので
数えもらしはない。
【お詫びと訂正】
2015年１月６日に
「正六角形の場合に公式を適用したところ、正しい答えがでない」
という旨のご指摘を頂き、本記事の後半
「【数え方（正ｎ角形の場合）】」の２行目
「まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［ｎ／２］個。」
が誤りであることに気付きました。正しくは「［（ｎ－１）／２］個。」です。
現在は関連個所を含め訂正してあります。
間違いのないよう気を付けていきますが、変なところや疑問がありましたら、
コメントいただけるとうれしいです。
≪［（ｎ－１）／２］個になることの説明≫
正ｎ角形の頂点を結んでできる三角形のうち、
Ａを頂点とする二等辺三角形が何個あるか考える。
底辺が何通りあるか数えればよい。
ｎ個ある頂点のうちＡを除いた（ｎ－１）個から
２個ずつ結んで底辺ができるから、［（ｎ－１）／２］個である。
正偶数角形（たとえば正六角形）の場合、
Ａの向かい側の頂点は、底辺作りに参加できないが、
それがガウス記号（［ ］）による切り捨てに対応している。
正ｎ角形の頂点を結んでできる
二等辺三角形は何個あるか？
【注意】
問題を考える前に、
二等辺三角形に関する用語を確認しておこう。
2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
等しい辺を等辺、残りのもうひとつの辺を底辺という。
等辺がなす角を頂角、等辺の交点を頂点という。
等辺と底辺がなす角を底角という。
「頂点」は多角形（特に三角形）の「頂点」と紛らわしいので、
この記事では、二等辺三角形の「頂点」といえば
上図の頂点のことであって、底角のところの頂点ではないとする。
【数え方】
いきなりｎだと難しいので、
とりあえず、正七角形の場合を考える。
いきなりｎで大丈夫な人は飛ばしてください。
正七角形の七個の頂点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇとする。
まず、Ａを頂点とする等辺三角形が何個あるか数える。
これは簡単に数えられて、３個である。（下図）
ところで、他の点（Ｂ，Ｃ，・・・）を頂点とする二等辺三角形も
それぞれ、３個ずつある。
よって、正三角形の頂点を結んで出来る二等辺三角形は
３×７＝２１個である。
ここで、注意しなければならないのは、
だぶって数えていないか？である。
つまり、Ａを頂点とし、かつＢを頂点とするような二等辺三角形は
ないのか？ということである。
正七角形の場合はないから上の21個でいいが、
たとえば、正六角形では、だぶりが出てくる。
上図の青い三角形は、二等辺三角形（正三角形！）であるが、
Ａ，Ｃ，Ｄともに二等辺三角形の頂点と見ることができる。
よって、この三角形は３回数えられることになるので、
この三角形に関しては、個数を－２しないといけない。
そして、だぶりがあるとすれば、それは二等辺三角形が
正三角形のときである。
（二等辺三角形の頂点が複数ある二等辺三角形は、
正三角形しかないからである。）
正七角形は、頂点を結んでも二等辺三角形はできないので、
だぶりはない。
正ｎ角形の頂点を結んだとき正三角形ができるのは、
ｎが３の倍数のときであり、
そのときできる相異なる正三角形は、ｎ／３個である。
よって
【数え方（正ｎ角形場合）】
正ｎ角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，・・・とする。
まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［（ｎ－１）／２］個。
各頂点について同じことが言えるので、
とりあえず、［（ｎ－１）／２］×ｎ個と計算する。（［ ］はガウス記号）
そのうち、正三角形はだぶって数えてしまっているのでそれを除く。
正三角形は、
ｎが３の倍数でないときは、０個。
ｎが３の倍数のときは、ｎ／３個で、それぞれ３回ずつ数えている。
よって、
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形の個数は、
ｎが３の倍数でないとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ 個。
ｎが３の倍数のとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ－２ｎ／３ 個。
【補足】
だぶりのことは考えたが、反対に、数えもらしはないだろうか？
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形は、
Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・のいずれかを頂点に持つ。
よって、上で数えたなかのどこかに入っているので
数えもらしはない。
【お詫びと訂正】
2015年１月６日に
「正六角形の場合に公式を適用したところ、正しい答えがでない」
という旨のご指摘を頂き、本記事の後半
「【数え方（正ｎ角形の場合）】」の２行目
「まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［ｎ／２］個。」
が誤りであることに気付きました。正しくは「［（ｎ－１）／２］個。」です。
現在は関連個所を含め訂正してあります。
間違いのないよう気を付けていきますが、変なところや疑問がありましたら、
コメントいただけるとうれしいです。
≪［（ｎ－１）／２］個になることの説明≫
正ｎ角形の頂点を結んでできる三角形のうち、
Ａを頂点とする二等辺三角形が何個あるか考える。
底辺が何通りあるか数えればよい。
ｎ個ある頂点のうちＡを除いた（ｎ－１）個から
２個ずつ結んで底辺ができるから、［（ｎ－１）／２］個である。
正偶数角形（たとえば正六角形）の場合、
Ａの向かい側の頂点は、底辺作りに参加できないが、
それがガウス記号（［ ］）による切り捨てに対応している。
今日は、
3人のマックスです。
●マックス・エルンスト
画家
作品
『ひとりぼっちの木と結婚している木』
『シュルレアリストのメンバーを紹介するロプロプ』
●マックス・デミアン
小説『デミアン』の登場人物
印がある人のひとり。
印のない人を衆寓と言って馬鹿にする。
●森マックス
森鴎外の孫
詳細不明。
「トリビアの泉」に登場。
【後記】
以前やった「3人のモーリス」では、
モーリス・ユトリロがいました。
彼も画家でした。
が、エルンストとの接点はわかりません。
また、モーリス・ラヴェルという人もいました。
彼は軍隊に志願し、真っ暗闇の中をトラックを運転して、
事故って帰ってきました。（友達はそれを望んでいた。）
デミアンも物語の終盤で、軍隊に入り、負傷します。
しかし、彼は家に帰るのではなく、
幽霊のように、主人公の枕元に現れ、
物語のまとめをして消えます。
人間ではないのかもしれません。
もう一人のモーリスは、誰だったか思い出せません。
【付】
上に書いたことと何の関係もないですが、
マルチン・ブーバーの『我と汝』は、
岩波書店版では1000円以下ですが、
みすず書房版では3000円以上します。
文庫とハードカバーでここまで違うものなのでしょうか。
なにか他に理由があるのでしょうか。
以前、ポケモンと同じ名前なのに惹かれて、
『我と汝』ではなのいですが、ブーバーの本に挑戦して
すぐ飽きました。
今また、再挑戦しています。
・・・
そういえば、
マルチン・ブーバーは神学者らしい。
宗教関係の人だったとはね。