【問題】
正ｎ角形の頂点を結んでできる
二等辺三角形は何個あるか？
【注意】
問題を考える前に、
二等辺三角形に関する用語を確認しておこう。
2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
等しい辺を等辺、残りのもうひとつの辺を底辺という。
等辺がなす角を頂角、等辺の交点を頂点という。
等辺と底辺がなす角を底角という。
「頂点」は多角形（特に三角形）の「頂点」と紛らわしいので、
この記事では、二等辺三角形の「頂点」といえば
上図の頂点のことであって、底角のところの頂点ではないとする。
【数え方】
いきなりｎだと難しいので、
とりあえず、正七角形の場合を考える。
いきなりｎで大丈夫な人は飛ばしてください。
正七角形の七個の頂点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇとする。
まず、Ａを頂点とする等辺三角形が何個あるか数える。
これは簡単に数えられて、３個である。（下図）
ところで、他の点（Ｂ，Ｃ，・・・）を頂点とする二等辺三角形も
それぞれ、３個ずつある。
よって、正三角形の頂点を結んで出来る二等辺三角形は
３×７＝２１個である。
ここで、注意しなければならないのは、
だぶって数えていないか？である。
つまり、Ａを頂点とし、かつＢを頂点とするような二等辺三角形は
ないのか？ということである。
正七角形の場合はないから上の21個でいいが、
たとえば、正六角形では、だぶりが出てくる。
上図の青い三角形は、二等辺三角形（正三角形！）であるが、
Ａ，Ｃ，Ｄともに二等辺三角形の頂点と見ることができる。
よって、この三角形は３回数えられることになるので、
この三角形に関しては、個数を－２しないといけない。
そして、だぶりがあるとすれば、それは二等辺三角形が
正三角形のときである。
（二等辺三角形の頂点が複数ある二等辺三角形は、
正三角形しかないからである。）
正七角形は、頂点を結んでも二等辺三角形はできないので、
だぶりはない。
正ｎ角形の頂点を結んだとき正三角形ができるのは、
ｎが３の倍数のときであり、
そのときできる相異なる正三角形は、ｎ／３個である。
よって
【数え方（正ｎ角形場合）】
正ｎ角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，・・・とする。
まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［（ｎ－１）／２］個。
各頂点について同じことが言えるので、
とりあえず、［（ｎ－１）／２］×ｎ個と計算する。（［ ］はガウス記号）
そのうち、正三角形はだぶって数えてしまっているのでそれを除く。
正三角形は、
ｎが３の倍数でないときは、０個。
ｎが３の倍数のときは、ｎ／３個で、それぞれ３回ずつ数えている。
よって、
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形の個数は、
ｎが３の倍数でないとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ 個。
ｎが３の倍数のとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ－２ｎ／３ 個。
【補足】
だぶりのことは考えたが、反対に、数えもらしはないだろうか？
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形は、
Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・のいずれかを頂点に持つ。
よって、上で数えたなかのどこかに入っているので
数えもらしはない。
【お詫びと訂正】
2015年１月６日に
「正六角形の場合に公式を適用したところ、正しい答えがでない」
という旨のご指摘を頂き、本記事の後半
「【数え方（正ｎ角形の場合）】」の２行目
「まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［ｎ／２］個。」
が誤りであることに気付きました。正しくは「［（ｎ－１）／２］個。」です。
現在は関連個所を含め訂正してあります。
間違いのないよう気を付けていきますが、変なところや疑問がありましたら、
コメントいただけるとうれしいです。
≪［（ｎ－１）／２］個になることの説明≫
正ｎ角形の頂点を結んでできる三角形のうち、
Ａを頂点とする二等辺三角形が何個あるか考える。
底辺が何通りあるか数えればよい。
ｎ個ある頂点のうちＡを除いた（ｎ－１）個から
２個ずつ結んで底辺ができるから、［（ｎ－１）／２］個である。
正偶数角形（たとえば正六角形）の場合、
Ａの向かい側の頂点は、底辺作りに参加できないが、
それがガウス記号（［ ］）による切り捨てに対応している。
正ｎ角形の頂点を結んでできる
二等辺三角形は何個あるか？
【注意】
問題を考える前に、
二等辺三角形に関する用語を確認しておこう。
2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。
等しい辺を等辺、残りのもうひとつの辺を底辺という。
等辺がなす角を頂角、等辺の交点を頂点という。
等辺と底辺がなす角を底角という。
「頂点」は多角形（特に三角形）の「頂点」と紛らわしいので、
この記事では、二等辺三角形の「頂点」といえば
上図の頂点のことであって、底角のところの頂点ではないとする。
【数え方】
いきなりｎだと難しいので、
とりあえず、正七角形の場合を考える。
いきなりｎで大丈夫な人は飛ばしてください。
正七角形の七個の頂点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇとする。
まず、Ａを頂点とする等辺三角形が何個あるか数える。
これは簡単に数えられて、３個である。（下図）
ところで、他の点（Ｂ，Ｃ，・・・）を頂点とする二等辺三角形も
それぞれ、３個ずつある。
よって、正三角形の頂点を結んで出来る二等辺三角形は
３×７＝２１個である。
ここで、注意しなければならないのは、
だぶって数えていないか？である。
つまり、Ａを頂点とし、かつＢを頂点とするような二等辺三角形は
ないのか？ということである。
正七角形の場合はないから上の21個でいいが、
たとえば、正六角形では、だぶりが出てくる。
上図の青い三角形は、二等辺三角形（正三角形！）であるが、
Ａ，Ｃ，Ｄともに二等辺三角形の頂点と見ることができる。
よって、この三角形は３回数えられることになるので、
この三角形に関しては、個数を－２しないといけない。
そして、だぶりがあるとすれば、それは二等辺三角形が
正三角形のときである。
（二等辺三角形の頂点が複数ある二等辺三角形は、
正三角形しかないからである。）
正七角形は、頂点を結んでも二等辺三角形はできないので、
だぶりはない。
正ｎ角形の頂点を結んだとき正三角形ができるのは、
ｎが３の倍数のときであり、
そのときできる相異なる正三角形は、ｎ／３個である。
よって
【数え方（正ｎ角形場合）】
正ｎ角形の頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，・・・とする。
まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［（ｎ－１）／２］個。
各頂点について同じことが言えるので、
とりあえず、［（ｎ－１）／２］×ｎ個と計算する。（［ ］はガウス記号）
そのうち、正三角形はだぶって数えてしまっているのでそれを除く。
正三角形は、
ｎが３の倍数でないときは、０個。
ｎが３の倍数のときは、ｎ／３個で、それぞれ３回ずつ数えている。
よって、
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形の個数は、
ｎが３の倍数でないとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ 個。
ｎが３の倍数のとき、［（ｎ－１）／２］×ｎ－２ｎ／３ 個。
【補足】
だぶりのことは考えたが、反対に、数えもらしはないだろうか？
正ｎ角形の頂点を結んでできる二等辺三角形は、
Ａ，Ｂ，Ｃ，・・・のいずれかを頂点に持つ。
よって、上で数えたなかのどこかに入っているので
数えもらしはない。
【お詫びと訂正】
2015年１月６日に
「正六角形の場合に公式を適用したところ、正しい答えがでない」
という旨のご指摘を頂き、本記事の後半
「【数え方（正ｎ角形の場合）】」の２行目
「まずＡを頂点とする二等辺三角形を数えると、［ｎ／２］個。」
が誤りであることに気付きました。正しくは「［（ｎ－１）／２］個。」です。
現在は関連個所を含め訂正してあります。
間違いのないよう気を付けていきますが、変なところや疑問がありましたら、
コメントいただけるとうれしいです。
≪［（ｎ－１）／２］個になることの説明≫
正ｎ角形の頂点を結んでできる三角形のうち、
Ａを頂点とする二等辺三角形が何個あるか考える。
底辺が何通りあるか数えればよい。
ｎ個ある頂点のうちＡを除いた（ｎ－１）個から
２個ずつ結んで底辺ができるから、［（ｎ－１）／２］個である。
正偶数角形（たとえば正六角形）の場合、
Ａの向かい側の頂点は、底辺作りに参加できないが、
それがガウス記号（［ ］）による切り捨てに対応している。