皆さんは「平行内積」と言うものを
知っているだろうか？
「内積なら聞いたことあるけど・・・」
というあなた！
わたしたちがよく使っている内積は、
「内積＝０だと直交」ですよね。
だから、「直交内積」です。
直交があるなら平行も・・・
というわけで、内積の平行版、
「内積＝０なら平行」というのが「平行内積」です。
定義
２つのベクトルｘ＝（a,b），ｙ＝（c,d）に対して、
ｘとｙの平行内積とは、
ｘ★ｙ＝ad-bc
で定められる量である。
ふつうの内積はｘ・ｙでした。
平行内積では「・」の代わりに「★」を使ってみましょう。
それはいいとして、
ad-bcってどこかでみたような？
そうです。行列式です。
これを内積といっていいのか？
あるいは、なぜ内積と言うのか？
その理由としては、
（１） （ｘ＋ｙ）★ｚ＝ｘ★ｚ＋ｙ★ｚ
（２） （αｘ）★ｙ＝α（ｘ★ｙ）
（３） ★は、2つのベクトルから実数への写像である
といった内積と同じ性質があるためである。
しかし、交換法則は成り立たない。
（４） ｘ★ｙ＝－ｙ★ｘ
ｘとｙをひっくり返すと、マイナスが付いてしまう。
マイナスが付かなければ、正真正銘の交換法則だが、
マイナスが付くので、“交換法則もどき”といったところ。
まあ、抽象的な話はこの辺にして、
内積＝０のときホントに平行になるのか見ていこう。
ｘ★ｙ＝０ すなわち ad－bc＝０
参考書等でよく勉強している人は、これが
ベクトルｘとｙが平行であるための条件であることを
知っているだろう。
しかし、高校時代の筆者も含め、
「そんなことは覚えてないよ」という人のために、
ちょっと説明しておく。
もし、c≠0、d≠0ならば、上の式は、
a／c＝b／d （＝ｋとおく）
すると、ｘ＝ｋｙとなり、ｘ//ｙ（ｘとｙは平行）。
ｃ＝0やｄ＝0の場合も平行か零ベクトルであることが分かる。
（零ベクトルが出てくると、平行とはいえないが、
通常の内積で、直交のときも零ベクトルは出てくるので気にしない。）
したがって、
ｘ★ｙ＝０ ⇔ ｘとｙは平行 または 少なくとも一方が零ベクトル
という特徴づけができる。
これが平行内積という所以である。
また、面白いことに、
平行内積には、直交内積に対して
まさに双対的ともいうべき公式が存在する。
要するに、次の公式を見てもらえば、
「直交内積と平行内積はペア概念だ」と思われるでしょう～
直交内積に
ｘ・ｙ＝|ｘ||ｙ|cosθ
という公式があるように、
平行内積には、
ｘ★ｙ＝|ｘ||ｙ|sinθ
という公式が存在する。（すごい！）
直交はcos、平行はsinというわけか。
平行内積を使って書いてあると、
未知のものという気がするが、
実は、この公式も、
参考書等をよく勉強している人にはお馴染みである。
ｘ＝（a,b），ｙ＝（c,d）とすれば、
2つのベクトルｘ、ｙではさまれた三角形の面積Sは
S＝1/2・|ad-bc|
S＝1/2・|ｘ||ｙ|sinθ
と表せた。ここからSを消去すれば
上の平行内積の公式そのものが出てくる。
上の式（三角形の面積は行列式の半分）は、
下に比べてマイナーではないかと思うので
一応以下に証明（説明）する。
この式は、昔の過程では当たり前の式だったみたいだが
（昔も昔、まだ幾何学が高校で大事にされていた頃。戦前？）、
筆者はあまり知らなかった。
聞いたことはあったかもしれないが、
覚えるのは嫌いだったので、倦厭した。
＜証明（説明）＞
たとえば、下図のような位置に
ｘ＝（a,b）とｙ＝（c,d）があるとき、
（でっかい長方形adから、
小さい長方形bc（白く抜かれている所）を引いた。）
水色の半分が、平行四辺形の半分に等しいことを
示そう。
水色を半分にした。
等積変形により、
よって、示された。
ｘ、ｙが他の位置関係にあるときは、
どうも、同じように、とはいかない。
（たとえば、c＜aのとき。）
しかし、省略する。
こうして、
平行内積は市民権を得た。
「平行内積」という語は、ここだけのものである。
本には書いていないし、そんなことを言う人もいないだろう。
しかし、以上の話から、「平行内積」と呼ぶのも尤もだと、
納得いただけたのではないだろうか。
この平行内積は、世間の語でいうと、
２つのベクトルを並べてできる行列の行列式であり、
２つのベクトルにそれぞれｚ成分を付け足した
２つの空間ベクトルの外積のｚ成分である。
(a,b,p)×(c,d,q)＝(bq-pd，pc-aq，ad-bc)