Proposition 1
Let A be (a,b), B (0,0), C (1,0).
Then the orthocenter of the triangle ABC is
Proof
Let S be (x,y).
x=a because S is on the perpendicular
from A to BC.
x=a and
implies y=a(1-a)/b.
Proposotion 2
If b=f(a), the locus of S(x,y) is
Proof
It follws from b=f(a) and Proposotion 1.
絶対値つき二次関数のグラフを、
細かいこと（式変形とか場合分けとか）は考えずに
まあ、見てみようという企画です。
ここで、「絶対値つき二次関数」という言葉は、
のような、二次関数の式に絶対値をつけた
関数を指して使っています。
こういう関数を“二次関数”といっていいのかは
よくわかりませんが・・・
絶対値付き二次関数のグラフの形は
ものによって様々です。
たとえば、上 の二式をそれぞれグラフにすると、
となります。もちろん、実線が実際のグラフですが、
点線を補うとわかるように、これらのグラフは、
放物線の組み合わせで出来ています。
なぜ、このような形になるのかを
なんとなくでも理解できることを目標に
進んでいきたいと思います。
グラフを理解するには、描いて見ることです。
正しいグラフの描き方は、
「ｘについて場合分けをして絶対値をはずし、
それぞれの場合に二次関数のグラフを描いて、
つなげる。」
だと思いますが、ここでは、
「グラフの足し算」を使って、視覚的にやってみます。
まず、一個目の関数
について考えましょう。
これを、2つの関数
を足したものと考えます。
左の関数を青、右の関数を赤でグラフにすると、
となります。
これを足し算すると、
（つまり、ｙ座標を足し算すると、）
下図の緑のグラフになります。
緑のグラフは、
青のW字グラフを、赤い直線分だけ
持ち上げた格好になっています。
一般的に、
ｙ＝｜ｘの2次式｜＋ｘの1次式
（象徴的には、｜放物線｜＋直線）
という形の関数のグラフは、
このようにW字
グラフを直線分だけ持ち上げた
形になります。
ちゃんと言うと、
いつでもW字になるわけではなく、
「放物線」がｘ軸と交わらない場合は
「単なる放物線」を持ちあげた形になります。
また｜放物線｜の前に負の係数があるときは、
上下が変わりM字グラフになります。
が、いずれにせよ、
「ｙ＝｜ｘの二次式｜」のグラフを持ちあげた形になります。
さて次は、
を見ていきましょう。
これも、絶対値が付いてるところと、
付いてないところに分けて、
の足し算と考えます。
左の関数を青、右の関数を赤とすれば、
足し算すると、下図の緑グラフになります。
緑の曲線は放物線に見えるかもしれませんが、
放物線ではないので注意しましょう。
赤の関数がｘ＝1のところで折れ曲がっているので
持ち上げ方がｘ＝1を境に変わっているのです。
ｘ＝1の左側と右側で異なる放物線を
接ぎ木した曲線になっています。（下図）
一般の場合もV字なのかというと、
実は、違います。
以下、
放物線＋｜直線｜
という形の関数は、どんな形をしているのか調べます。
さっきの「｜放物線｜＋直線」の「持ち上げ」は、
割りと見やすいのではないかと思うのですが、
「放物線＋｜直線｜」はちょっとわかりにくい。
少し丁寧に見ていきましょう。
まず、直線の部分を変化させて
折り返し地点をずらしたとき、
グラフがどう変わるか観察します。
（動画は作り方がわからないので
画像を並べたので勘弁して下さい。）
折り返し地点を左から右へとずらしていきます。
てな感じです。
2つの放物線が接がれている様子が
おわかりいただけたでしょうか？
接ぎ目の左右では、それぞれ放物線の持ち上げに
なっているということもできたらご確認ください。
さて、
放物線＋｜直線｜のグラフは、
ここまでのところV字グラフばかりでしたが、
面白いことに、｜直線｜の前にマイナスをつけると、
緑線の実線と点線が入れ替わり、
W字グラフが現れます。
上図は、
のグラフです。絶対値の前にマイナスが付いたので
折れ線が上下反転しています。
このグラフのもう一つ上の図に描いてある
のグラフと見比べてみてください。
実線と点線が入れ替わっていますよね。
でも、W字が少し見にくいでしょうか。
赤線の折り返しを調整してやると、
これならW字っぽい。
というわけで、
「放物線＋a|直線｜」
という形の関数のグラフはaの正負によって、
V字になったり、W字になったりすることがわかりました。
実際は、放物線の前の係数（ｘ＾2の係数）の正負によって、
上下が入れ替わってM字なったりというバリエーションもありますが、
本質的な形の変化は以上で尽くされたと思います。
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絶対値付き関数は、どんな形になるのか
よくわからないこともありますが、
たとえば、絶対値つき2次関数の場合は上のような感じです。
問題を解くには、
W字とかV字とかを覚える必要なありませんが、
「絶対値付き関数のグラフはつながった一つの線である」
ということは覚えておくとよいと思います。
グラフを描く問題で、不連続なグラフになってしまったら、
どこか間違っていないか見直しした方がよいでしょう。
なぜ、つながっていると言い切れるかと言うと、
絶対値付き関数というのは、
ｙ＝｜ｘの式｜＋ｘの式
という形をしているので、2つの関数
ｙ＝｜ｘの式｜ ・・・①
ｙ＝ｘの式 ・・・②
の和です。
①も②も連続関数なので、その和である
絶対値つき関数も連続というわけです。
①が連続なのは、グラフを描くときのことを
想像してほしいのですが、
まず少なくとも、ｘ軸と共有点を持つまでは連続です。
ところが、ｘ軸との共有点では、
場合分けで出てくる2つの関数は
ともにｙ＝0なので
そこでもつながっているはずです。。
あまり、詳しくやると桐がないので
この辺でやめますが、
絶対値付き関数のグラフは、
よっぽどのことがない限りつながっています。
チェーホフ一幕劇全集 白鳥の歌・路上 他七篇
米川正夫 訳
岩波書店
1939年第１刷 2011年第14刷
その昔、中学校2年の国語で
チェーホフの『カメレオン』を読みました。
カメレオンは好きだったので、期待しましたが、
実際には、出て来るのは犬くらいで、
カメレオンとは関係のない話でした。
失望しました。
しかし、時間が経つにつれ、
この話は面白いと思うようになっていきました。
まず、台詞が面白い。
中学を卒業してからも、何度となく
『カメレオン』の名台詞が思い出されます。
たとえば、
「おっそろしく寒いなあ」
「お前が悪いんじゃないか」
「なんだ、よく見ればなかなかいい犬じゃないか」
といったところでしょうか。
お話は、「絵本」、「昔話」、「教科書に載ってるの」
ぐらいしか読んだことがなかったので、
こんな砕けた言葉遣いで書かれた
文章は新鮮でした。
「おっそろしく寒いなあ」は、本当は
「恐ろしく寒いな」だったかもしれません。
しかし、少なくとも、国語の先生の読み方は
「おっそろしく寒いなあ」だったと思います。
それくらいの読み方が合います。
ひどいのは、
「お前が悪いんじゃないか」です。
こんな台詞が学校で出てきていいのでしょうか。
しかも、「お前が悪い」なんて言える立場でないやつが
言った台詞です。
まじめな生徒だった私は、これにとても魅力を感じました。
先生の読み方の影響も大きかったでしょうが、
『カメレオン』の名台詞は、私のお気に入りになりました。
それで、
『チェーホフ一幕劇全集』
です。
残念ながら、『カメレオン』は収録されて
いませんでしたが、（そもそも劇じゃないのかも）
まあ、似たようなもんだろうと思って読むことにしました。
一話読んでくたびれたので、一話目だけの感想です。
一話目は、『路上』です。
内容は、大衆酒場で、没落した貴族ボルツォフの身の上話が
明かされる、というものです。
『路上』という題名ですが、主要登場人物は基本的に
ずっと酒場の中にいて、路上には出てきません。
酒屋の亭主が、馬車の修理を手伝いに一度外に出るのと、
通りがかりのクジマーが、酒屋を見つけて思わず入って来る
くらいです。
路上に属する人たちの憩いの場としての、酒場なのかもしれません。
期待通り台詞は面白いですが、
なまりすぎです。
しかし、台詞の中身は、最初から飛ばしています。
実際に読まないととても面白さは伝わらないので、
ここでは具体的には書きませんが、
エフィーモヴナお婆さんがいろいろ言ってくれます。
その後も、いい感じですが、
最終的には、割とまじめな話なので、
あまり際立った台詞はなかったかもしれません。
あるいは、まだ一回しか読んでいないせいで
心に残っていないのかもしれません。
『カメレオン』は授業や宿題で何度も読んだからなあ。
