ｐｘ＋ｑｙ＝１ 平行移動解法

以下の問題について考えます。

問題

２ｘ＋５ｙ＝１　・・・①

という方程式の整数解を求めよ。


これは、
なにか一個解を気合いで探してきて（こういう解を“特殊解”という）、
辺々引いて１を消して解くのでした。

たとえば（ｘ，ｙ）＝（－２，１）は解の一つ（特殊解です）なので、

　２・（－２）＋５・１＝１　・・・②

が成り立ちます。①－②をすると、

　２（ｘ＋２）＋５（ｙ－１）＝０

となります。変形して、

　２（ｘ＋２）＝－５（ｙ－１）

右辺が５の倍数より、

　ｘ＝－５ｋ－２　（ｋは整数）

①に代入して

　５ｙ＝１－２（－５ｋ－２）
　　ｙ＝２ｋ＋１

ｋがどんな整数であったとしても、このｘ,ｙは①を満たすので、
すべての整数ｋで、このｘ、ｙは①の解です。よって、答えは

　（ｘ,ｙ）＝（－５ｋ－２，２ｋ＋１）　ｋはすべての整数

となります。


こうして、特殊解を使って解けるのですが、
この問題を、グラフの平行移動を使って解くこともできます。


問題

２ｘ＋５ｙ＝１　・・・①

という方程式の整数解を求めよ。


まず、右辺を０にした

　２ｘ＋５ｙ＝０・・・③

という方程式を考えます。

　２ｘ＝－５ｙ

より、右辺が５の倍数だから

　ｘ＝５ｋ　（ｋは整数）

③に代入して、

　ｙ＝－２ｋ

すべての整数ｋで、このｘ，ｙは、③の解です。

この状況をグラフで見ると（下図）、
直線２ｘ＋５ｙ＝０の格子点が（５ｋ，－２ｋ）（ｋは整数）だということです。

（縮尺の関係で、上図の格子はｘ、ｙともに偶数のところしか引いてないので注意。）

ところで、問題で聞かれているのは、
直線２ｘ＋５ｙ＝１の格子点です。

直線２ｘ＋５ｙ＝０を平行移動して直線２ｘ＋５ｙ＝１に重ねましょう。

どれだけ平行移動すればいいかというと、

　２（ｘ－ｐ）＋５（ｙ－ｑ）＝１

となるようなｐ,ｑを頑張って見つけて、
ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだけ平行移動すればよいです。

　ｐ＝－２，ｑ＝１

とするとうまくいきます。

他の値でも、たとえばｐ＝３，ｑ＝－１などでもＯＫです。
これが、最初にやった解法の“特殊解”を見つける作業に相当します。

グラフで見ておくと、

赤線に沿って平行移動しています。
（また縮尺の関係で、升目は1／2区切りになっています。）

平行移動する前の直線上の点を（ｘ,ｙ）、
平行移動した後の直線上の点を（ｘ'，ｙ'）とすると、

　２ｘ＋５ｙ＝０
　２ｘ'＋５ｙ'＝１　（　２(ｘ'－ｐ)＋５(ｙ'－ｑ)＝１　）

であり、

　ｘ＝ｘ'－ｐ，ｙ＝ｙ'－ｑ　・・・④

の関係があります。④より

「ｘ,ｙが整数」⇔「ｘ'，ｙ'が整数」

なので、さっき求めた方程式③の解を使って、

　ｘ'＝ｘ＋ｐ＝５ｋ－２
　ｙ'＝ｙ＋ｑ＝－２ｋ＋１

が求める解となります。

ちなみに、ｐ、ｑは他の値を使っても同じ答えが出てきます。
式としては一見違う形でも、ｋ＝…,-1,0,1,2…を代入して
解全体を見れば同じです。



最後に、

今回は２ｘ＋５ｙ＝１という方程式を扱いましたが、

２、５の部分は「互いに素な整数」なら同じ解法が使えます。

また右辺の１も、“特殊解”や“どれだけ平行移動したらよいか”さえ
発見できるならどんな整数でも大丈夫です。

３次以上の方程式の実数解と虚数解

§０．はじめに

２次方程式の解は、

　１）２つの相異なる実数解
　２）実数の重解
　３）２つの相異なる虚数解

のいずれかだった。

「実数解と虚数解１つずつ」というのはない。

３次方程式や４次方程式にも、このような
実数解や虚数解のパターンがだろうか？


§１．２次方程式と判別式

さっきののところには少し疑問が残る。
　
という方程式の解は「実数解と虚数解１つずつ」ではないのか？
展開してみると、
　
となり、係数が虚数になる。
このように係数が虚数の時は２次方程式といえども、先述の３パターンに収まらない。

そもそも、この「３パターン」は２次方程式の解の公式から出てきた。
つまり、
　
において、√の中身（＝判別式）が正なら実数解、負なら虚数解であり、
さらに、√の前に±があるために、解が２つ出るとういものだ。
√の中身が０なら、±０だから解は１つになる。

ここで、「√の中身が正なら実数解」と言うとき、
√の外が実数であることが暗黙の了解になっている。
a,b,cが実数なら、√の外は実数であるから、
係数が実数の時は、例の３パターンは正しいということになる。

係数に虚数が入っている時は、３パターンのどれにもならない場合がありうる。
（たとえば、さっきの（ｘ－１）（ｘ－ｉ）＝０。）


以下では、方程式の係数は実数とする。


§２．３次方程式の解のパターン

３次方程式は１次方程式と２次方程式に“分解”できることを確認しておこう。


どんな３次関数でも、グラフを描くと必ずｘ軸と交わる。

　　
　　数Ⅲの知識で証明できる。
　　ｘ→∞のときの極限とｘ→－∞のときの極限が異符号の無限大であることから、
　　中間値の定理よりｙ＝０となるｘが必ず存在する。

ゆえに、どんな３次方程式でも少なくとも１つ実数解をもつ。

よって、因数定理より、３次方程式は、

の形に書ける。

　　
　　もうちょっと詳しく言うと、
　　存在が保証された実数解をｘ＝αとすれば、因数定理よりｘ－αを因数にもつから
　　３次方程式は、(ｘ－α)Ｑ(ｘ)＝０と書ける。
　　左辺は３次式なのだから、Ｑ(ｘ)は２次式でないとおかしい。
　　よって、上記のような形に書ける。

したがって、３次方程式の解は、
　または　
の解と同じである。

このように３次方程式は、１次方程式と２方程式に分解される。

３次方程式の解は、
実数解ｘ＝αと２次方程式の解からなるので、
２次方程式の解３パターンのそれぞれに、実数解αを付け足したものになる。

αが、分解して出てきた２次方程式の解と一致することもあるので
重解についてはあまりきれいな結果は得られない。
そこで、重解を重複して数えることにすると、３次方程式の解は

　１）３つの実数解
　２）１つの実数解と２つの虚数解

　　
　　わかると思うけど、念のため書いておくと、たとえば
　　
　　の解を３つの実数解と数える、ということである。

の２パターンになる。

＜わかったこと＞
実数係数の３次方程式は少なくとも１つの実数解をもつ。



§３．４次方程式の解のパターン

４次方程式は、３次方程式と違って、実数解をもつとは限らない。
４次関数で、グラフがｘ軸と交わらないものは、すぐ見つかる。

では、“複素数解”なら必ずもつといえるだろうか？


筆者にはよくわからない（今のところ証明できない）ので、
とりあえず、実数解が存在する場合を考えてみる。

実数解が１個あれば、因数定理より、
１次方程式と３次方程式に分解される。

よって、このとき４次方程式の解は、§２の結果から

　１）４つの実数解
　２）２つの実数解と２つの虚数解

の２パターンが考えられる。

実数解がないときは、

　３）（解があるなら）すべての解が虚数解

ということになる。
実数解がないときに、４次方程式が解をもつことを
今回は証明できてないので「（解があるなら）」付き。
また、虚数解のときはあったとしても何個あるのか今のところ不明。

　　
　　まあ、“４次”方程式というくらいだから、４つなんだろうけどネ。

まとめると、
実数係数の４次方程式の解は、あるとすれば、

　１）４つの実数解
　２）２つの実数解と２つの虚数解
　３）すべて虚数解

の３パターンである。

円と放物線が接する／重解 第２版

以前の記事『円と放物線が接する／重解』
http://ameblo.jp/accade/entry-11759949499.html
を改訂したものです。
旧版が冗長で却って読みにくい気がしたので、
簡潔を心がけ書き直すことにしました。
メインの問題は同じですが、
旧版が「グラフ上の変化」に重きを置いた説明だったのに対し、
「方程式の解の意味」に重きを置いた説明に変わっています。
同じ記事の修正版というよりは、「似たような」異なる記事になりました。


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今回は、次の問題がテーマです。

問題
円と放物線
が接するようなkの値を求めよ。

解答ではなく、

１．接している状況を座標平面に書くと
　　どんな感じか。何通りあるか。

２．「接する 判別式＝0」なのか。

という２つの観点からこの問題を研究してみましょう。



≪１．について≫

まず、問題文から分かることとして、

　円は中心（０,０）で半径１、
　放物線はｋに応じてｙ＝ｘ^2上下に平行移動したもの

であることをおさえておきましょう。

単位円を描いた後に、放物線を上下に動かして考えればいいわけです。


「接している状態」を思いつく限り描いてみます。





さらに、



最後のやつに関して、
「（1，0）（１，0）では接してないから違うんじゃないの？」
と思うかもしれませんが、
放物線の頂点（0，-1）で接してるので、「接している」仲間に入れておきます。

　　
　　「違うんじゃないの？」という気持ちはごもっともで、
　　たしかに、「内接」や「外接」はしていません。
　　最後のやつは内接や外接でない「接する状態」です。


こうして、
証明はしていませんが「接する状態」は以上の３通りだとわかりました。

　　
　　放物線の頂点で接する場合は、明らかに上図１番目と３番目しかありえない。
　　頂点以外で接する場合も・・・たぶん上図２番目しかありえない。



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≪２．について≫

「接する」ことと「判別式＝０」との関係を探って行きましょう。

円の方程式と放物線の方程式を連立させます。
を消去して、


この方程式で、判別式Ｄ＝０として見ると、
より

となります。

ｋが放物線の頂点のｙ座標であることから
ｋ＝－5／4は、さっき描いたグラフの２番目

の状態であることがわかります。

Ｄ＝０から１番目と３番目の状態は出てきません。

つまり、
Ｄ＝０は接している状態の２番目と対応しているが、
１番目３番目とは対応していないのです。

「Ｄ＝０」⇒「接している」

は言えますが、１番目３番目のように
「接している」からといってＤ＝０とは限らず、
逆は言えないことがわかりました。




では、
Ｄ＝０から１番目３番目が出て来ない理由はなんなのでしょう？


そもそも、方程式の解は、共有点のｙ座標を表しているのでした。
もっと正確な言い方をすると、
「共有点のｙ座標全体のうちの異なるｙ座標」を表しています。

例えば、３番目の図（ｋ＝－１の場合）で見ると、

において、共有点は（－１,０）,（１,０）,（０,－１）ですが、
それぞれのｙ座標０、０、－１のうち、異なるものは０、－１であり、
このｙ＝０,－１が、２次方程式（ｋ＝－１）の解
になっています。

よって、Ｄ＝０とは、
「共有点のｙ座標のうち異なるものが１個」の状態ということになります。

確かに、２番目のグラフは共有点のｙ座標のうち異なるものは１個です。


しかし、１番目

も見たところ、異なるｙ座標は１個です。

図よりｋ＝１であることを使って、Ｄを計算してみると、
　Ｄ＝５＋４ｋ＝９＞０
となります。

図では解は１個のはずなのに、判別式では２個と出ている…
音はすれども姿は見えずというやつですね。

犯人を捜すためにを解くと、
　（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０　より　ｙ＝１,－２
です。
ｙ＝１は図に現れている接点のｙ座標ですが、
ｙ＝－２の方は・・・－２ということは円の外なので共有点にはならないから、
図に現れるわけがない。

ｙ＝－２のときのｘを求めると、となり、虚数解です。

ｙ＝－２が実数だったからうっかりしていたが、
今は未知数が２つあるから、両方実数ではじめてグラフ上に現れるのです。

よって、１番目の図というのは、

　ｙについては２つの異なる実数解だが、ｘについては虚数解

という状態であることがわかりました。



ここまで、知識がそろえば、
３番目の
が方程式的にどういう状態であるかもわかります。

ｙについては異なる２つの実数解です。

ｘについても基本的な考え方はｙと同じて、
連立方程式からｙを消去してできる方程式の解は
共有点のｘ座標のうち異なるものを表します。

図より、異なるｘ座標は３つあるので、
ｘについては異なる３つ！の実数解となります。

ここで、ｙを消去してできる方程式は

という４次方程式であることに注意しましょう。
４次方程式ですから解が３つあっても大丈夫です。

また、ちょっと考えると、
異なる３つの実数解のうち一つは重解であることがわかります。

　　
　　『円と放物線が接する／重解』（旧版）のように２つあった解が一つに重なる様子を
　　　考えてもいいし、今度書く予定ですが、２次方程式にわけても考えてもいいと思います。
　　　４次方程式の解の性質を考えることでもわかります。
　　　http://ameblo.jp/accade/entry-11931585889.html
　　　↑方程式の解の個数に関する記事を書きました。ただし、2次方程式に
　　　わけて考えるのではなく、1次方程式と3次方程式にわけることで、
　　　実数係数の4次方程式の解は、（重解を重複して数えて、）
　　　１）4つの実数解　２）２つの実数解と２つの虚数解　３）すべて虚数解
　　　の３パターンであることを証明しています。
　　　よって、4次方程式が相異なる3つの実数解をもつときは、
　　　１）のパターンであり、3つのうち1つは重解ということになります。（2014年9月28日）