以前の記事『円と放物線が接する／重解』
http://ameblo.jp/accade/entry-11759949499.html
を改訂したものです。
旧版が冗長で却って読みにくい気がしたので、
簡潔を心がけ書き直すことにしました。
メインの問題は同じですが、
旧版が「グラフ上の変化」に重きを置いた説明だったのに対し、
「方程式の解の意味」に重きを置いた説明に変わっています。
同じ記事の修正版というよりは、「似たような」異なる記事になりました。
---
今回は、次の問題がテーマです。
問題
円
と放物線
が接するようなkの値を求めよ。
解答ではなく、
１．接している状況を座標平面に書くと
どんな感じか。何通りあるか。
２．「接する
判別式＝0」なのか。
という２つの観点からこの問題を研究してみましょう。
≪１．について≫
まず、問題文から分かることとして、
円は中心（０,０）で半径１、
放物線はｋに応じてｙ＝ｘ^2上下に平行移動したもの
であることをおさえておきましょう。
単位円を描いた後に、放物線を上下に動かして考えればいいわけです。
「接している状態」を思いつく限り描いてみます。
さらに、
最後のやつに関して、
「（1，0）（１，0）では接してないから違うんじゃないの？」
と思うかもしれませんが、
放物線の頂点（0，-1）で接してるので、「接している」仲間に入れておきます。
「違うんじゃないの？」という気持ちはごもっともで、
たしかに、「内接」や「外接」はしていません。
最後のやつは内接や外接でない「接する状態」です。
こうして、
証明はしていませんが
「接する状態」は以上の３通りだとわかりました。
放物線の頂点で接する場合は、明らかに上図１番目と３番目しかありえない。
頂点以外で接する場合も・・・たぶん上図２番目しかありえない。
---
≪２．について≫
「接する」ことと「判別式＝０」との関係を探って行きましょう。
円の方程式と放物線の方程式を連立させます。
を消去して、
この方程式で、判別式Ｄ＝０として見ると、
より
となります。
ｋが放物線の頂点のｙ座標であることから
ｋ＝－5／4は、さっき描いたグラフの２番目
の状態であることがわかります。
Ｄ＝０から１番目と３番目の状態は出てきません。
つまり、
Ｄ＝０は接している状態の２番目と対応しているが、
１番目３番目とは対応していないのです。
「Ｄ＝０」⇒「接している」
は言えますが、１番目３番目のように
「接している」からといってＤ＝０とは限らず、
逆は言えないことがわかりました。
では、
Ｄ＝０から１番目３番目が出て来ない理由はなんなのでしょう？
そもそも、方程式の解は、共有点のｙ座標を表しているのでした。
もっと正確な言い方をすると、
「共有点のｙ座標全体のうちの異なるｙ座標」を表しています。
例えば、３番目の図（ｋ＝－１の場合）で見ると、
において、共有点は（－１,０）,（１,０）,（０,－１）ですが、
それぞれのｙ座標０、０、－１のうち、異なるものは０、－１であり、
このｙ＝０,－１が、２次方程式（ｋ＝－１）の解
になっています。
よって、Ｄ＝０とは、
「共有点のｙ座標のうち異なるものが１個」の状態ということになります。
確かに、２番目のグラフは共有点のｙ座標のうち異なるものは１個です。
しかし、１番目
も見たところ、異なるｙ座標は１個です。
図よりｋ＝１であることを使って、Ｄを計算してみると、
Ｄ＝５＋４ｋ＝９＞０
となります。
図では解は１個のはずなのに、判別式では２個と出ている…
音はすれども姿は見えずというやつですね。
犯人を捜すためにを解くと、
（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０ より ｙ＝１,－２
です。
ｙ＝１は図に現れている接点のｙ座標ですが、
ｙ＝－２の方は・・・－２ということは円の外なので共有点にはならないから、
図に現れるわけがない。
ｙ＝－２のときのｘを求めると、
となり、虚数解です。
ｙ＝－２が実数だったからうっかりしていたが、
今は未知数が２つあるから、両方実数ではじめてグラフ上に現れるのです。
よって、１番目の図というのは、
ｙについては２つの異なる実数解だが、ｘについては虚数解
という状態であることがわかりました。
ここまで、知識がそろえば、
３番目の
が方程式的にどういう状態であるかもわかります。
ｙについては異なる２つの実数解です。
ｘについても基本的な考え方はｙと同じて、
連立方程式からｙを消去してできる方程式の解は
共有点のｘ座標のうち異なるものを表します。
図より、異なるｘ座標は３つあるので、
ｘについては異なる３つ！の実数解となります。
ここで、ｙを消去してできる方程式は
という４次方程式であることに注意しましょう。
４次方程式ですから解が３つあっても大丈夫です。
また、ちょっと考えると、
異なる３つの実数解のうち一つは重解であることがわかります。
『円と放物線が接する／重解』（旧版）のように２つあった解が一つに重なる様子を
考えてもいいし、今度書く予定ですが、２次方程式にわけても考えてもいいと思います。
４次方程式の解の性質を考えることでもわかります。
http://ameblo.jp/accade/entry-11931585889.html
↑方程式の解の個数に関する記事を書きました。ただし、2次方程式に
わけて考えるのではなく、1次方程式と3次方程式にわけることで、
実数係数の4次方程式の解は、（重解を重複して数えて、）
１）4つの実数解 ２）２つの実数解と２つの虚数解 ３）すべて虚数解
の３パターンであることを証明しています。
よって、4次方程式が相異なる3つの実数解をもつときは、
１）のパターンであり、3つのうち1つは重解ということになります。（2014年9月28日）
http://ameblo.jp/accade/entry-11759949499.html
を改訂したものです。
旧版が冗長で却って読みにくい気がしたので、
簡潔を心がけ書き直すことにしました。
メインの問題は同じですが、
旧版が「グラフ上の変化」に重きを置いた説明だったのに対し、
「方程式の解の意味」に重きを置いた説明に変わっています。
同じ記事の修正版というよりは、「似たような」異なる記事になりました。
---
今回は、次の問題がテーマです。
問題
円
と放物線が接するようなkの値を求めよ。
解答ではなく、
１．接している状況を座標平面に書くと
どんな感じか。何通りあるか。
２．「接する
判別式＝0」なのか。という２つの観点からこの問題を研究してみましょう。
≪１．について≫
まず、問題文から分かることとして、
円は中心（０,０）で半径１、
放物線はｋに応じてｙ＝ｘ^2上下に平行移動したもの
であることをおさえておきましょう。
単位円を描いた後に、放物線を上下に動かして考えればいいわけです。
「接している状態」を思いつく限り描いてみます。
さらに、
最後のやつに関して、
「（1，0）（１，0）では接してないから違うんじゃないの？」
と思うかもしれませんが、
放物線の頂点（0，-1）で接してるので、「接している」仲間に入れておきます。
「違うんじゃないの？」という気持ちはごもっともで、
たしかに、「内接」や「外接」はしていません。
最後のやつは内接や外接でない「接する状態」です。
こうして、
証明はしていませんが
「接する状態」は以上の３通りだとわかりました。放物線の頂点で接する場合は、明らかに上図１番目と３番目しかありえない。
頂点以外で接する場合も・・・たぶん上図２番目しかありえない。
---
≪２．について≫
「接する」ことと「判別式＝０」との関係を探って行きましょう。
円の方程式と放物線の方程式を連立させます。
を消去して、この方程式で、判別式Ｄ＝０として見ると、
よりとなります。
ｋが放物線の頂点のｙ座標であることから
ｋ＝－5／4は、さっき描いたグラフの２番目
の状態であることがわかります。
Ｄ＝０から１番目と３番目の状態は出てきません。
つまり、
Ｄ＝０は接している状態の２番目と対応しているが、
１番目３番目とは対応していないのです。
「Ｄ＝０」⇒「接している」
は言えますが、１番目３番目のように
「接している」からといってＤ＝０とは限らず、
逆は言えないことがわかりました。
では、
Ｄ＝０から１番目３番目が出て来ない理由はなんなのでしょう？
そもそも、方程式
の解は、共有点のｙ座標を表しているのでした。もっと正確な言い方をすると、
「共有点のｙ座標全体のうちの異なるｙ座標」を表しています。
例えば、３番目の図（ｋ＝－１の場合）で見ると、
において、共有点は（－１,０）,（１,０）,（０,－１）ですが、
それぞれのｙ座標０、０、－１のうち、異なるものは０、－１であり、
このｙ＝０,－１が、２次方程式
（ｋ＝－１）の解になっています。
よって、Ｄ＝０とは、
「共有点のｙ座標のうち異なるものが１個」の状態ということになります。
確かに、２番目のグラフは共有点のｙ座標のうち異なるものは１個です。
しかし、１番目
も見たところ、異なるｙ座標は１個です。
図よりｋ＝１であることを使って、Ｄを計算してみると、
Ｄ＝５＋４ｋ＝９＞０
となります。
図では解は１個のはずなのに、判別式では２個と出ている…
音はすれども姿は見えずというやつですね。
犯人を捜すために
を解くと、（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０ より ｙ＝１,－２
です。
ｙ＝１は図に現れている接点のｙ座標ですが、
ｙ＝－２の方は・・・－２ということは円の外なので共有点にはならないから、
図に現れるわけがない。
ｙ＝－２のときのｘを求めると、
となり、虚数解です。ｙ＝－２が実数だったからうっかりしていたが、
今は未知数が２つあるから、両方実数ではじめてグラフ上に現れるのです。
よって、１番目の図というのは、
ｙについては２つの異なる実数解だが、ｘについては虚数解
という状態であることがわかりました。
ここまで、知識がそろえば、
３番目の
が方程式的にどういう状態であるかもわかります。
ｙについては異なる２つの実数解です。
ｘについても基本的な考え方はｙと同じて、
連立方程式からｙを消去してできる方程式の解は
共有点のｘ座標のうち異なるものを表します。
図より、異なるｘ座標は３つあるので、
ｘについては異なる３つ！の実数解となります。
ここで、ｙを消去してできる方程式は
という４次方程式であることに注意しましょう。
４次方程式ですから解が３つあっても大丈夫です。
また、ちょっと考えると、
異なる３つの実数解のうち一つは重解であることがわかります。
『円と放物線が接する／重解』（旧版）のように２つあった解が一つに重なる様子を
考えてもいいし、
４次方程式の解の性質を考えることでもわかります。
http://ameblo.jp/accade/entry-11931585889.html
↑方程式の解の個数に関する記事を書きました。ただし、2次方程式に
わけて考えるのではなく、1次方程式と3次方程式にわけることで、
実数係数の4次方程式の解は、（重解を重複して数えて、）
１）4つの実数解 ２）２つの実数解と２つの虚数解 ３）すべて虚数解
の３パターンであることを証明しています。
よって、4次方程式が相異なる3つの実数解をもつときは、
１）のパターンであり、3つのうち1つは重解ということになります。（2014年9月28日）