以下の問題について考えます。
問題
２ｘ＋５ｙ＝１ ・・・①
という方程式の整数解を求めよ。
これは、
なにか一個解を気合いで探してきて（こういう解を“特殊解”という）、
辺々引いて１を消して解くのでした。
たとえば（ｘ，ｙ）＝（－２，１）は解の一つ（特殊解です）なので、
２・（－２）＋５・１＝１ ・・・②
が成り立ちます。①－②をすると、
２（ｘ＋２）＋５（ｙ－１）＝０
となります。変形して、
２（ｘ＋２）＝－５（ｙ－１）
右辺が５の倍数より、
ｘ＝－５ｋ－２ （ｋは整数）
①に代入して
５ｙ＝１－２（－５ｋ－２）
ｙ＝２ｋ＋１
ｋがどんな整数であったとしても、このｘ,ｙは①を満たすので、
すべての整数ｋで、このｘ、ｙは①の解です。よって、答えは
（ｘ,ｙ）＝（－５ｋ－２，２ｋ＋１） ｋはすべての整数
となります。
こうして、特殊解を使って解けるのですが、
この問題を、グラフの平行移動を使って解くこともできます。
問題
２ｘ＋５ｙ＝１ ・・・①
という方程式の整数解を求めよ。
まず、右辺を０にした
２ｘ＋５ｙ＝０・・・③
という方程式を考えます。
２ｘ＝－５ｙ
より、右辺が５の倍数だから
ｘ＝５ｋ （ｋは整数）
③に代入して、
ｙ＝－２ｋ
すべての整数ｋで、このｘ，ｙは、③の解です。
この状況をグラフで見ると（下図）、
直線２ｘ＋５ｙ＝０の格子点が（５ｋ，－２ｋ）（ｋは整数）だということです。
（縮尺の関係で、上図の格子はｘ、ｙともに偶数のところしか引いてないので注意。）
ところで、問題で聞かれているのは、
直線２ｘ＋５ｙ＝１の格子点です。
直線２ｘ＋５ｙ＝０を平行移動して直線２ｘ＋５ｙ＝１に重ねましょう。
どれだけ平行移動すればいいかというと、
２（ｘ－ｐ）＋５（ｙ－ｑ）＝１
となるようなｐ,ｑを頑張って見つけて、
ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだけ平行移動すればよいです。
ｐ＝－２，ｑ＝１
とするとうまくいきます。
他の値でも、たとえばｐ＝３，ｑ＝－１などでもＯＫです。
これが、最初にやった解法の“特殊解”を見つける作業に相当します。
グラフで見ておくと、
赤線に沿って平行移動しています。
（また縮尺の関係で、升目は1／2区切りになっています。）
平行移動する前の直線上の点を（ｘ,ｙ）、
平行移動した後の直線上の点を（ｘ'，ｙ'）とすると、
２ｘ＋５ｙ＝０
２ｘ'＋５ｙ'＝１ （ ２(ｘ'－ｐ)＋５(ｙ'－ｑ)＝１ ）
であり、
ｘ＝ｘ'－ｐ，ｙ＝ｙ'－ｑ ・・・④
の関係があります。④より
「ｘ,ｙが整数」⇔「ｘ'，ｙ'が整数」
なので、さっき求めた方程式③の解を使って、
ｘ'＝ｘ＋ｐ＝５ｋ－２
ｙ'＝ｙ＋ｑ＝－２ｋ＋１
が求める解となります。
ちなみに、ｐ、ｑは他の値を使っても同じ答えが出てきます。
式としては一見違う形でも、ｋ＝…,-1,0,1,2…を代入して
解全体を見れば同じです。
最後に、
今回は２ｘ＋５ｙ＝１という方程式を扱いましたが、
２、５の部分は「互いに素な整数」なら同じ解法が使えます。
また右辺の１も、“特殊解”や“どれだけ平行移動したらよいか”さえ
発見できるならどんな整数でも大丈夫です。
問題
２ｘ＋５ｙ＝１ ・・・①
という方程式の整数解を求めよ。
これは、
なにか一個解を気合いで探してきて（こういう解を“特殊解”という）、
辺々引いて１を消して解くのでした。
たとえば（ｘ，ｙ）＝（－２，１）は解の一つ（特殊解です）なので、
２・（－２）＋５・１＝１ ・・・②
が成り立ちます。①－②をすると、
２（ｘ＋２）＋５（ｙ－１）＝０
となります。変形して、
２（ｘ＋２）＝－５（ｙ－１）
右辺が５の倍数より、
ｘ＝－５ｋ－２ （ｋは整数）
①に代入して
５ｙ＝１－２（－５ｋ－２）
ｙ＝２ｋ＋１
ｋがどんな整数であったとしても、このｘ,ｙは①を満たすので、
すべての整数ｋで、このｘ、ｙは①の解です。よって、答えは
（ｘ,ｙ）＝（－５ｋ－２，２ｋ＋１） ｋはすべての整数
となります。
こうして、特殊解を使って解けるのですが、
この問題を、グラフの平行移動を使って解くこともできます。
問題
２ｘ＋５ｙ＝１ ・・・①
という方程式の整数解を求めよ。
まず、右辺を０にした
２ｘ＋５ｙ＝０・・・③
という方程式を考えます。
２ｘ＝－５ｙ
より、右辺が５の倍数だから
ｘ＝５ｋ （ｋは整数）
③に代入して、
ｙ＝－２ｋ
すべての整数ｋで、このｘ，ｙは、③の解です。
この状況をグラフで見ると（下図）、
直線２ｘ＋５ｙ＝０の格子点が（５ｋ，－２ｋ）（ｋは整数）だということです。
（縮尺の関係で、上図の格子はｘ、ｙともに偶数のところしか引いてないので注意。）
ところで、問題で聞かれているのは、
直線２ｘ＋５ｙ＝１の格子点です。
直線２ｘ＋５ｙ＝０を平行移動して直線２ｘ＋５ｙ＝１に重ねましょう。
どれだけ平行移動すればいいかというと、
２（ｘ－ｐ）＋５（ｙ－ｑ）＝１
となるようなｐ,ｑを頑張って見つけて、
ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向にｑだけ平行移動すればよいです。
ｐ＝－２，ｑ＝１
とするとうまくいきます。
他の値でも、たとえばｐ＝３，ｑ＝－１などでもＯＫです。
これが、最初にやった解法の“特殊解”を見つける作業に相当します。
グラフで見ておくと、
赤線に沿って平行移動しています。
（また縮尺の関係で、升目は1／2区切りになっています。）
平行移動する前の直線上の点を（ｘ,ｙ）、
平行移動した後の直線上の点を（ｘ'，ｙ'）とすると、
２ｘ＋５ｙ＝０
２ｘ'＋５ｙ'＝１ （ ２(ｘ'－ｐ)＋５(ｙ'－ｑ)＝１ ）
であり、
ｘ＝ｘ'－ｐ，ｙ＝ｙ'－ｑ ・・・④
の関係があります。④より
「ｘ,ｙが整数」⇔「ｘ'，ｙ'が整数」
なので、さっき求めた方程式③の解を使って、
ｘ'＝ｘ＋ｐ＝５ｋ－２
ｙ'＝ｙ＋ｑ＝－２ｋ＋１
が求める解となります。
ちなみに、ｐ、ｑは他の値を使っても同じ答えが出てきます。
式としては一見違う形でも、ｋ＝…,-1,0,1,2…を代入して
解全体を見れば同じです。
最後に、
今回は２ｘ＋５ｙ＝１という方程式を扱いましたが、
２、５の部分は「互いに素な整数」なら同じ解法が使えます。
また右辺の１も、“特殊解”や“どれだけ平行移動したらよいか”さえ
発見できるならどんな整数でも大丈夫です。