「裏」の意味

「ｐならばｑ」型の命題には、「逆」「裏」「対偶」がある。

逆　：ｑならばｐ
裏　：ｐでない　ならば　ｑでない
対偶：ｑでない　ならば　ｐでない


「逆」はわかりやすい。「逆は必ずしも真ならず」とか言うし。


「対偶」も証明でよく使うのでそのうち慣れる。
それに、日常的な例もある。

「犯人ならば３時に台所に居た」の対偶をとると
「３時に台所に居なかったならば犯人ではない」
となりアリバイの話になる。


ところが、「裏」はあまり出て来ない気がする。

「裏」はいつ使うのだろうか？

この度、「裏」が使われる場面を見つけたので紹介したい。


「他人を蹴落としてでも、出世してやる！
出世すれば幸せになれるからな。」

「でも、出世しないと幸せになれないの？
他の幸せもあるんじゃない？」

下線を引っ張ったところが、もとの命題とその「裏」である。
（文才がないのは見逃して。）


数学的な例なら、

「ならば」だ！

じゃあ、
「でないならば、とはならない」といえるか？
指数関数以外の関数には、微分して変わらないないやつはいないのか？


数Ⅲをやってない人のために、もうひとつ例を挙げる。


「四角形ABCDが長方形ならば、２つの対角線の長さは等しい。」

これは正しい。では、

「四角形ABCDが長方形でないならば、２つの対角線の長さは等しくない」

のだろうか？



ある主張が、他のものについては成り立たないのか検証を求めるような場面で、「裏」は登場するようだ。

では、それ以外の場面に「裏」が出てくることはないのだろうか？（これも「裏」）

ファン・デル・ヴェルデンの手書き本

暇ができたので県外の本屋に行ってみると，古本フェアをやっていました．
タイミングが良かったのか珍しい本が残っていました．

ファン・デル・ヴェルデンの『群論の量子論への応用？』とかいうような題名の本がありました．古そうな本だとは思いましたが，開いてみると，なんと“手書き”でした．

もちろん肉筆ではなく，活字ではないという意味です“手書き”です．ガリ版的なものでしょう．

図書館で，「∫」が手書きになってる本は見たことがありましたが，その本でも地の文はタイプライターで打ってありました．（タイプライターでは大量に印刷できないから，本当はタイプライターではないかもしれませんが，文字が横だけでなく縦もそろっていて読みにくいやつです．）

今回見つけたファン・デル・ヴェルデンは，筆記体でドイツ語がずーっと書いてありました．きれいでなかなかカッコイイ仕上がりでした．

でも，ドイツ語を知らない上に，筆記体では読めないだろうと思って買いませんでした．あとお金もなし，量子群？の本はすでに持ってるので我慢しました．が，今思うと惜しいような気もします．


これを機に，きれいな字を目指そう！

(a+b+c)^2について

公式

で、abやbcやcaの前に「２」が付くのをうっとうしく思ったことはありませんか？

今回は、この「２」がどこから出てきたものなのか探っていきます。

まず、おなじみの公式

このように項の順番を変えると(a+b+c)^2の公式とよく似ています。
２乗すると「２」が出てくるようです。

信じられないなら、a,b,cにさらにdを加えたものを２乗してみましょう。

やはり「２」が出て来ます。
「２」は２乗に由来するのです。

ここまで徹底して出てくると「２」が“きれい”なものに見えて来ませんか？


さて、今度は、
(a+b+c)^2の公式のよくある応用問題。

なる計算ができます。
「２」の代わりに（？）「１２３２１」という“山”が登場しました。

さらに、
(a+b+c+d)^2の公式を使うと、

が得られます。

このようなピラミッドが現れるのは、組合せの問題が関係しています。
２つの箱｛３，２，１，０｝と｛３，２，１，０｝から数を１つずつ選んで、和が６，５，４，３，２，１，０になるよう選び方が、それぞれ１，２，３，４，３，２，１通りだということです。

以上の話は、整式（数Ⅰ）と場合の数（数Ａ）の内容、つまり高校１年生の知識で理解できます。


～附録～
(a+b+c+d)^2の計算例。
その１

その２