スティーヴ・ライヒ／ラヂオリライト

steve reichの“radio rewrite”というＣＤについて書きます。

スティーヴ・ライヒは、アメリカの作曲家で、今も現役で活動されているようです。“radio rewrite”は、２０１４年録音ということでごく最近の曲のようです。収録曲は、

electric counterpoint
piano counterpoint
radio rewrite

の三曲で、electric counterpointが目当てです。counterpointはドイツ語でいえばcontrapunktでしょう。コントラプンクトといえば対位法です。バッハの『フーガの技法』も一曲一曲はコントラプンクトと題されています。現代音楽の作曲家ということで、電子音のフーガ的なものだろうと期待していましたが、聴いてみると、エレキギターの同音連打でした。

MIDIっぽい曲ですが、コンピュータではできない味のある演奏です。演奏はjonny greenwoodというギタリストで、現代音楽専門ではなく普段はバンドをやっている人のようです。日本人でも、Ｊ－ＰＯＰやロックのギタリストが、現代音楽を弾くのを聴いてみたいと思いました。

さて、“electric counterpoint”は聴いて損のない名曲でしたが、休みなしに音が鳴り続けるので、聴いていて疲れます。感動のうちに、やっと終わったと思ったら、今度は“piano counterpoint”が始まります。なかなか辛いです。こういうのをミニマルミュージックというようですが、適度な休憩をとりながら聴いた方が良さそうです。

最後の“radio rewrite”も他の二曲とよく似た雰囲気で、クラシックコーナーにあったＣＤですが、もっとポップな？響きでした。いわゆる現代音楽ではなく、“現代的”な音です。私の聴いたことある分野では、サイモンとガーファンクルとか、地域の合唱演奏会で聴いた、谷川俊太郎の詩に曲を付けた合唱曲とかに近い気がします。そういう意味で“現代的”です。

このＣＤは、“electric counterpoint”がjonny greenwood二度目の録音であることと“radio rewrite”が世界初録音であることが売りらしいですが、はっきり言って“radio rewrite”はあまり印象に残りませんでした。一曲目のインパクトが強かったです。

エレキギターというと、個人的には、音が割れてギュィーンみたいなイメージが第一なのですが、そういえば『サウンドオブサイレンス』の伴奏に見られるような飾り気のない音も出ます。“electric counterpoint”は後者です。イエペスとかユパンキとかもいいですが、アコースティックギターにはないエレキの魅力を改めて実感できました。

光学異性体の個数

化学で、「与えられた分子の光学異性体は何種類あるか」という問題があります。この記事では、光学異性体の個数を数えるための公式を、できるだけ一般的の分子に適用できる形で提示し、さらにその根拠として数学的な証明をつけることを目指します。


以下とくに断らない限り、Ｇは３次元空間における図形を表すとする。


定義１．（図形の相等）
図形Ｇを、回転および平行移動だけを用いて図形Ｆと重ねることができるとき、Ｇ＝Ｆと書く。Ｇ＝ＦでないときＧ≠Ｆと書く。


定義２．（図形の面対称性）
Ｇは、Ｇを通るある平面に関して対称であるとき、面対称であるという。


定義３．（キラル）
Ｇを、Ｇと共通部分をもたない平面Ｐに関して対称移動した図形をＧ’とする。
Ｇ≠Ｇ’であるとき、Ｇはキラルであるという。

つまり、キラルとは、鏡像と重ね合わせられない図形である。

注意（キラルがwell-definedであること）
Ｇが、Ｇと共通部分をもたない“ある”平面Ｐに関する対称移動で不変ならば、Ｇは、Ｇと共通部分をもたない“任意の”平面に関する対称移動で不変である。これは、日常生活における“鏡”を考えてみれば明らかである。
また、定理（アキラルの特徴づけ）の証明の中で述べるが、本当は、対称の面はＧと共通部分をもってもよい。ここでは日常的な鏡をイメージして、とりあえず「共通部分をもたない」としている。


定義４．（アキラル）
Ｇを平面に関して対称移動した図形をＧ’とする。
Ｇ＝Ｇ’であるとき、Ｇはアキラルであるという。

つまり、アキラルとは、鏡像と重ね合わせられる図形である。


定理１．（アキラルの特徴づけ）
Ｇがアキラルであるための必要十分条件は、Ｇが面対称であることである。

証明
Ｇが、Ｇを通る平面Ｐに関して対称であるとする。
Ｇを平面Ｐで２つに分ける。平面Ｐを境界にして一方の側にある部分をＧ1、もう一方の側にある部分をＧ2とする。
Ｇの面対称性より、Ｇ1は平面Ｐに関して対称移動するとＧ2と重なる。「定義（キラル）の注意」で述べたのと同じ論法で、Ｇ1と共通部分をもたない任意の平面に関して、Ｇ1を対称移動したものはＧ2と重なることがわかる。また同様に、Ｇ2を対称移動するとＧ1になる。したがって、任意の平面に関して、Ｇを対称移動してできる図形は、Ｇ1とＧ2からなるので、Ｇ自身である。
よって、Ｇはアキラルである。

逆に、Ｇがアキラルであるとする。あるＧを通らない平面Ｑに関して、Ｇは対称である。ＧをＱに平行でＧを通る平面ＰでＧ1、Ｇ2に分ける。Ｇのアキラル性より、Ｇ1をＱに関して対称移動したものはＧ2に等しい。同様にＧ2をＱに関して対称移動したものはＧ1に等しい。よって、ＧはＰに関して対称である。□


定義５．（分子モデル）
キラルな図形を頂点にもち、それらを結ぶ辺をもつグラフで次の条件を満たすものを分子モデルという。
　条件１　どの頂点も辺によって他の頂点と結ばれている（孤立した頂点はない）
　条件２　どの辺も異なる２つの頂点を結ぶ（端に頂点のない辺はない）
　条件３　３つ以上の辺がつながっている頂点はない（直線状のグラフ）
また、そのキラルな図形一つひとつを分子モデルのキラル部分という。キラル部分をｎ個もつ分子モデルをｎ－モデルという。

注意１
化学における分子をイメージしている。キラル性の情報を持たせつつ、炭素原子だけにしたようなものである。

注意２
「アキラルな部分がある分子は考慮しないのか」という疑問があるかもしれない。光学異性体が問題になるような分子では、光学異性体の個数を調べるだけなら、アキラルな部分は無視してかまわない（「ない」と思ってよい）場合がほとんどだと思われるので、簡単のためキラル部分しかもたない分子モデルを考える。

注意３
証明の簡略化のため直線形以外のグラフは扱わない。しかし、光学異性体が問題になる様な分子ならば、同様の考え方で直線形以外のものにも同じ結果が成り立つと期待できる。

例
化学における

は、キラル部分を２つ持つので２－モデルが対応する。


定義６．（光学異性体）
Ｇを分子モデルとする。Ｇのキラル部分のうちいくつかを、面対称移動した図形で置き換えることによってできる分子モデルＧ’で、Ｇ’≠ＧとなるものをＧの光学異性体という。


定義７．（メソ体）
分子モデルＧがキラル部分をもつとする。Ｇを通らない平面に関してＧを対称移動してできる分子モデルＧ’がＧ’＝Ｇを満たすとき、Ｇはメソ体であるという。


定理２．（光学異性体の個数）
2ｎ－モデルの光学異性体の個数は、自分自身も含めて、
個

証明
ステップ１
2ｎ－モデルの光学異性体の個数は高々
個
である。
これは、各キラル部分が２個ずつ光学異性体をもつことからわかる。

ステップ２
2ｎ－モデルの光学異性体のうちメソ体であるものは
個
であることを示す。
分子モデルはメソ体であるならば、メソ体の定義およびアキラルの定義より、アキラルな図形である。よって、「定理１．（アキラルの特徴づけ）」より、メソ体は面対称な図形である。対称の面をＰとする。Ｐを境界にしてキラル部分はｎ個ずつに分かれる。面対称な分子モデルの個数は、ｎ個のうち１個を固定して後のキラル部分について数えればよく、
個
である。

ステップ３
以上より、ステップ１で数えたうち、重複して数えているメソ体の分を除くことで、光学異性体の個数は
個
である。□


定理３．（光学異性体の個数）
2ｎ-1－モデルの光学異性体の個数は、自分自身も含めて
個

証明
キラル部分が奇数個のときは、面対称になりえないので、光学異性体の中にメソ体はない。□

数学的帰納法が正しいことの証明

数学的帰納法が正しいことを証明する。

つまり、

定理
自然数ｎについての命題Ｐ(ｎ)が与えられているとする。もし、
　（１）Ｐ(１)が真であること、
　（２）各自然数ｋについて、
　　　　でＰ（ｋ）が真ならばＰ(ｋ＋１)も真であること、
が示されるならば、すべての自然数ｎについて、Ｐ(ｎ)は真である。

を証明する。

ここで、Ｐ(１)とは、ｎ＝１のときのＰ(ｎ)のことである。
同様に、Ｐ(ｋ)はｎ＝ｋのときのＰ(ｎ)のこと。


この定理のことを、私たちは数学的帰納法と呼んでいる。

以下の証明は、内田伏一著『集合と位相』（裳華房）に載っている「超限帰納法」の証明を参考にした。


＜定理の証明＞
（１），（２）が示されているのに、命題Ｐ(ｎ)が偽であるような自然数ｎが存在する、と仮定する。

命題Ｐ(ｎ)が偽であるようなｎのうち最小のものをＮとする。
すると、
　　　ｎ＜ＮならばＰ(ｎ)は真　…(＊)
である。

また、（１）が示されているから、Ｎ≠１である。
　　（ｎ＝１のときＰ(１)は真、ｎ＝ＮのときＰ(ｎ)は偽だから、Ｎ＝１なわけがない。）
よって、Ｎ＞１である。
したがって、Ｎ－１＞０となり、Ｎ－１は自然数である。


さて、
当たり前だけどＮ－１＜Ｎである。
これと(＊)より、Ｐ(Ｎ－１)は真である。
　（Ｐ(ｎ)は自然数についての命題だから、Ｎ－１＝０だとＰ(Ｎ－１)は意味をなさない。
　　しかし、さっき確認したようにＮ－１は自然数だから問題ない）
（２）が示されているから、ｋ＝Ｎの場合を考えて、Ｐ(Ｎ)も真である。

これは、Ｎの「命題Ｐ(ｎ)が偽であるようなｎ」という性質に矛盾する。□



高校数学では見慣れない論法もでてきて、ちょっと難しい証明だが、よく考えれば分らなくはないと思う。もう少し詳しく説明した方がいい部分もあったかもしれないが、あまりごちゃごちゃすると、論理の流れの全体像が見えにくくなるので、「（　）」で書いた箇所程度にした。

いずれにせよ、数学的帰納法が正しいことは、自然数の性質と背理法によって証明できる。
ここで使った自然数の性質は、多少難しい話になるが、「自然数の部分集合には必ず最小元が存在する」という性質である。証明中「Ｎの存在」を保証するのにこの性質を使っている。