複素数、虚と実の数　～究極の数を探して～

私たちの身の回りの世界を見渡すと、
実数が散りばめられているように感じます。

１，２，３，４，・・・　といった自然数に加え、

マイナスの数や分数、

さらに、ルート２のような無理数まで、

これらの数のことを実数といいます。

数直線を考えると、
すべての実数が１本の直線上に含まれています。

それが、私たちが実数を身近で親しみのある数
と感じている理由かもしれません。

じゃあ、実数を超える数を考える必要はあるのでしょうか？

ここでは、そんなことを考えてみます。

ある数自身を２回かけること、
つまり、△×△のことを２乗といいます。

－３×（－３）＝９のように、

どんな数も２乗すれば必ずプラスになります。

△×△＝９　という式を考えると、
これを満たす△は、

△＝３，－３

となります。

ここで、ｘを使うと、

ｘ×ｘ＝９　という式の解が、

ｘ＝３，－３　となることを意味します。

しかし、

２乗してマイナスになる数はないので、

ｘ×ｘ＝－９という式は、

解が存在しません。

せっかく方程式を考えたのに、
「解なし」というのはどうなんでしょうか？

実がそこが、完全と思いがちな実数の不完全な部分なのです。

そこで、実数を超える複素数が登場します。

２乗してマイナスになる数はないのですが、
そのような数（または、記号）を導入します。

２乗すると－１となる数 i を考えて、
i のことを虚数といいます。

そして、

2＋3i のように

実数と虚数を含む数のことを複素数といいます。

３や５のような実数は、

3 は 3＋0i,
5 は 5＋0i

というように解釈できるので、

実数も、複素数の一部だと考えられます。

ただ、

２乗すると－１という性質や
虚数というネーミングから想像すると

虚数（または、複素数）は、なんだか実体のない数のように思えてきます。

虚、影、幻、・・・

といったイメージがついてしまいがちです。

ですが、

虚数は本当に幻なんでしょうか？

そこの所を、数学的に解明したいと思います。

たとえば、

因数分解を考えてみます。

ｘ×ｘ＋９という式（多項式といいます）はこれ以上因数分解できません。

しかし、

複素数まで数の世界を広げることで

(ｘ＋ 3i)(ｘ－ 3i) と因数分解できるようになります。

これは何を意味しているかというと、

ｘ×ｘ＝－９

という式は、「解なし」でしたが、

複素数まで数の範囲を広げることで、

ｘ＝ 3i, －3i

と解をもつことを意味します。

実数ではできなかったことが、

複素数まで広げることで、できるようになるのです。

さらに、

複素数を考えることで、すべての方程式も解をもつことが分かります。

正確には、

「すべての多項式は、複素数の範囲で（必ず）１次式の積に因数分解できる」

と表現されます。

これを「代数学の基本定理」といい、ガウスによって証明されました。

もちろん、実数の範囲ではこんなことは成り立ちません。

すなわち、数を複素数の範囲まで広げることで、
因数分解を完全に行うことができて、

どんな方程式も必ず解をもつことになるのです。

すなわち、

実数から複素数へ数を広げることで、
完全な形で方程式や多項式を扱うことができます。

このようなことから、

「複素数」は「実数」より奥が深い「本質的な数」といるのです。

決して、幻のような便宜的な数ではないのです。

もしかすると、

この世界は複素数の方が実体で、
実数の方が影のような存在かもしれません。