２０２５年９月１１日(木）
楕円体
x²/a²＋y²/b²＋z²/c²＝１ ・・・※
の体積を３重積分を用いて求めることが本ブログの目的である。
計算は面倒になるが、本ブログの方法以外に、楕円体の媒介変数表示を用いて体積を計算する方法もある。すなわち(h,k,l)を楕円体の中心とすれば、楕円体の媒介変数表示は
x=h＋a cos(s) sin(t)
y=k＋b sin(s) sin(t)
z=l+c cos(t) (s,t)∈[0,2π]×[0,π]
と表すことができる。(h,k,l)＝_(0,0,0)として、この媒介変数表示から楕円体の体積を計算すること(計算は多少面倒であるが・・・）ができるであろう。
なお、楕円体の表面を楕円面と言う。それについては、次の私のブログを参照にしていただきたい。
楕円面 ～古典的微分幾何学の曲面論より (２０２５年４月２８日）
楕円面の面積、すなわち楕円体の表面積Sを求めるには第一種楕円積分E(x,k)・第二種楕円積分F(x,k)が必要となる。
S＝2π[{c²＋b√(a²－c²)E(x,k)}＋{bc²/ √(a²－c²) } F(x,k)]
このことは、平面曲線の楕円の弧長が楕円積分で表すことができることの自然な拡張であることからわかる。詳しいことは、省略する。
このブログでの楕円体の体積を求める方法は、原点を中心とする半径ｒの球をx軸方向にa/r、ｙ軸方向にb/r、z軸方向にc/r縮小(拡大）すると、※の楕円ができることを利用するものである。ここでの変数変換は、それを意味している。
直観的には、次のようになる。球の体積は、
V＝4/3・π・r³＝4/3・π・r・r・r
であるから、それぞれのrに順にa/r、b/r、c/rをかけていけばいい。
V'＝・(r・a/r）・(r・ｂ/r）・(r・ｃ/r）＝4/3・π・abc
となるわけである。
(訂正）
（１） 空白行を含めて５行目
（誤） 方定式 （正） 方程式
（２） １枚目の楕円体の定義が間違っていた。お詫びして、訂正する。
(誤） ｘ²/a²＋y²/b²＋z²/c²=1
（正） ｘ²/a²＋y²/b²＋z²/c²≦１
（誤）の方は、楕円面の定義であった。
ちょっと休息
（１）９月１０日(水）のFacebook投稿より
昨日(９日)は名古屋に用事があったので、久しぶりに出かけました。用事は午前中に終わりましたので、昼食のために歩いて名古屋城入り口の金シャチ横丁にある矢場とんに行きました。３０分程並んで、ロースカツ定食を注文しました。久しぶりに矢場とんのとんかつを食べました。
市営地下鉄の名古屋城駅にもどって、地下鉄で栄まで行きました。丸善本店で本を購入するためです。栄の地下街も久しぶりで、どこをどういっていいのか迷いました。そこで、スマートフォーンのナビを頼りにして、何とか目的地に到着しました。
丸善本店の経済学のブースで、
天谷研一『図解で学ぶ ゲーム理論入門』（2011年初版、2021.0315第10刷）
を購入しました。この本と、もう1冊の演習書とともにゆっくり読みながら、来年2学期からのオンライン授業『ゲーム理論入門’25』に今から備えておきたいと思います。二度挫折しているゲーム理論を、今度こそその概略でも理解したいと思っています。私がゲーム理論ということばを知ったのは、遙か昔の高校時代のときでした。
市営地下鉄の栄駅から名古屋駅へ、近鉄、養老鉄道と乗り継いで、帰宅しました。時刻は、16時30分でした。それにしても、今日一日に歩いた歩数は、１３０００歩を超えました。
※ ここ２年間の最大の目標としていた学位授与機構からの学士(理学)を取得すること
は達成できましたので、来年４月以降の２年間のまなびの目標としてつぎの３つを
設定してみました。
（１）放送大学の全科履修生として「心理と教育」コースに入学して、２年後に卒業
すること。(けじめとして、東京での学位記授与式に参加すること。こちらの方
が、目的？）(注）
（２）ゲーム理論の概要を理解すること。
（３）放送授業の『物理の世界'24』の単位を修得すること。
(注）
私が放送大学の東京での卒業式・学位授与式にはじめて参加したのは、「人間と文化」コースを卒業した２０２１年度の２学期末(２０２２年３月）です。両国の国技館でした。２０２７年度２学期末(２０２８年３月）に「心理と教育」コースを２年間で卒業して、再びけじめとして放送大学全体の卒業式・学位授与式に参加したいと思っています。学位授与機構への学士(理学)の申請もあって、今年度末の２学期まで選科履修生として在籍しています。この間も「心理と教育」コースの卒業を意識して、コース科目を履修してきました。着実に、準備してきたわけです。
ただ私は、卒業自体にそれほど意義を感じているわけではありません。これまで「自然と環境」・「人間と文化」・「情報」コースを２年ごとに卒業してきました。そのたびに、３つの学士(教養)の学位を授与されてきました。そこに１つ追加しても、あんまり・・・という気です。ただ、再び東京での卒業式・学位授与式には参加したいという気持ちが強いです。何かそのために卒業を目指す本末転倒のように思えますが・・・ここは、割り切ります。
