fire tv stick と chromecastの有線LAN接続に関する情報のニーズ高いようですので機材や電源でのトラブルなどの基本的な事項のまとめを。
まずは基本的な事項ですがUSB型の電源からの電源の供給能力が低いと電圧が足りなくなってしまい、有線LANアダプターが電圧の低下を敏感に感じ取って有線LANが認識されないというケースが多いようです。
また、電源には余裕があっても電源用のケーブルが純正以外の物を使っているために電圧が低下しているというケースもあるようです。
(長いUSB充電ケーブルなどは電圧の低下が酷くなりますので症状が出やすくなります)
一度純正電源＋純正電源ケーブルで試してみてはいかがでしょうか？
USBテスターがあるならば実測で電源出口の電圧を計測してみて電圧の高い電源に変更するのも手です。
fire tv stickは純正の電源ケーブルの太さがいまいちっぽいので大電流対応型に変更してみるのも良さそうです。
以下は純正の電源と代替の電圧が安定した電源として用意したマルチポートのUSB充電器とでフルパワーをかけた時の最低電圧と最大電流を計測してみました。
電流は有線LANアダプター分の消費も含まれていて、どちらも純正ではない1GbpsのUSBのHUB付きアダプターを使っています。
ですが純正の電源にもいろいろと問題があるようです。AC100Vの電源電圧が低めの物件に住んでいる方は電圧が高めでしっかりした充電器の電源に交換することで症状が改善するかもしれません。
・fire tv stick 4K maxに付属してきたUSB電源のスペック
電源ケーブルの見た目：あまり電流が流れやすそうではない
電源出力の仕様： DC出力 5V 1.0A
使用しているUSB LANアダプター(TYPE-A HUB)：JESWO USB LAN Switch 有線LANアダプター(micro-USBをTYPE-AにするOTGケーブルで変換と電源供給しています)
実測で負荷をかけたストリーミング動画再生時
(電源の出口にUSBテスターを繋いで計測しているのでfire tv stick本体の入り口時点ではUSBケーブルでさらに電圧が低下しています)
純正電源 5.074V(最低電圧) 0.64A
用意したマルチポートUSB充電器 5.285V(最低電圧) 0.66A
・chromecast with google tvに付属してきたUSB電源のスペック
電源ケーブルの見た目：そこそこ電流が流れやすそう
電源出力の仕様： DC出力 5V 1.5A
使用しているUSB LANアダプター（TYPE-C）：Lemorele RJ45 Ethernet PD 2in1 Switch
実測で負荷をかけたストリーミング動画再生時
純正電源 5.083V(最低電圧) 0.61A
用意したマルチポートUSB充電器 5.285V(最低電圧) 0.62A
1Gbpsの有線LANアダプターなので上記のように100Mbpsを超えた速度が出ています。
みなさんも不本意ながらUSBの電源ケーブルを長くしなければならない場合などはケーブルの質ともっと電圧が高くて安定している充電器を採用すると動作にこぎつけられるかもしれませんね。