*以下の説明はあくまでも概略です。
回転体の体積は、回転軸を含む正対(せいつい)平面に正射影をして求めると言うテクニックです。
下の問題で三角形が回転して出来る立体の体積を考える。
回転軸に垂直な平面で切ってできる形はドーナツ型である。
ところが被積分関数であるドーナツ型の面積は三平方の定理により、赤色で示した円の面積に等しい。このときOMの長さに無関係である事は後の説明で重要になるので留意して欲しい。
従って、三角形RPQを回転して出来る立体の体積はyz平面の正射影したものを回転して出来る立体（単なる円錐）に体積が等しい。
＊水平の線は座標軸ではないので→はかいていない。
と求める事ができる。つまり次のように等体積変形したのである。
尚、左図の曲面部分は回転一葉双曲面となる。（大阪大学で出題された事がある）
さて、ここまで準備したら東京大学２００９年の問題を考える。
(1) W(a)は１８０度回転のため半径が１の球の体積の半分だから２π÷３となる。
(2)は挟み撃ちなどを使わなくとも、aの値にはフリー、同じ値になる。
以上は厳密でないと批判される方に：もともと数学は厳密なものではない。
