四面体の重心の定義は
「各頂点から対面の重心に下ろした４直線」の交点である。
垂線の交点と間違って理解する生徒が多いのは中学生の時に
正四面体での場合を学習する際の指導者に問題があるのではないか。
定義だから、覚えなさいというのなら教師は要らない。
平面での重心との整合性を説明する事にしよう。
平面での三角形→空間での四面体
平面での対辺 →空間での対面
というようにつねに
平面を拡張して考えることが重要である。
重心のベクトル表示は
四面体O-ABCの位置ベクトルをOをゼロ・ベクトルとしてA(a),B(b),C(c)とおくと (a+b+c)÷４となる。
垂心が必ずしも存在しないのは上の図で明らかである。
図で赤で示した垂線はどう考えても他の頂点から対面におろした垂線と交わりそうにもありませんね。
尚、垂心のベクトル表示は、存在する場合でも、一般には特別な条件のもとでしか出来ない。岡山大学で出題されたことがあるのでいずれ機会をみてとりあげよう。
