今日は、 土浦日本大学中等教育学校のISAT入試で出題された「規則性に関する問題」を紹介します。
親子で挑戦してみてください!
はるとさんは、立方体のブロックを、ある規則に従い下のように積み上げました。
<積み上げたブロックを真横から見たとき>
<積み上げたブロックを真上から見たとき>
はると:よし。できた。
ひかり:たくさん積み上げたみたいだね。
はると:うん。今回は5段まで積み上げたんだ。
ひかり:すごい!何個のブロックを使ったの?
はると:全部で、「 ア 」個使ったよ。
ひかり:まだ、たくさんブロックが余ってるわね。このブロック、色が黒と白の2種類あるみたいだね。
はると:そうなんだ。上から1段目を黒のブロック、2段目を白のブロックと交互に重ねていくと、ちょうど8段まで積み上げることができるんだ。
ひかり:8段になるのね。そうすると黒は「 イ 」個で、白は「 ウ 」個かしら?
はると:すごい!ひかりさん正解だ。どのようにして考えたのか教えてよ。
■問題1
会話文中「 ア 」にあてはまる数を書きなさい。
■問題2
会話文中の「 イ 」、「 ウ 」にあてはまる数を書きなさい。また、あなたがひかりさんなら、はるとさんにどのように数の求め方を説明しますか。
図や表、数、式、言葉などを使って説明しなさい。
土浦日本大学中等教育学校(2019年)
□解答・解説
■問題1
問題の<積み上げたブロックを真上から見たとき>の図より、
上から1段目にある立方体の数は1個
上から2段目にある立方体の数は1+3+1=5個
上から3段目にある立方体の数は1+3+5+3+1=13個
となっています。
ここで、1+3+5のような1から始まる奇数の合計は、1+3+5=3×3のように、(奇数)×(奇数)で求めることができます。
また、下の図のように、図形を変形して説明することもできます。
このことを利用すると、上から3段目にある立方体の個数は、(1+3+5)+(3+1)と分けると、3×3+2×2となり、「(段の数)×(段の数)+(段の数-1)×(段の数-1)」と考えることができます。
これより、段数と合計の個数を表に整理すると、次のようになります。
よって、5段まで積み上げたときの立方体の個数は、1+5+13+25+41=85(個)となります。
85 ……(アの答え)
■問題2
問題1の表を8段までかくと、次のようになります。
このうち、黒のブロックは上から1、3、5、7段目にあるので、全部で1+13+41+85=140(個)、
白のブロックは上から2、4、6、8段目にあるので、全部で5+25+61+113=204(個)
となります。
140 ……(イの答え)
204 ……(ウの答え)
求め方は、以上をまとめて次のようになります。
上から1段目、2段目、3段目、…の順に数えるとき、それぞれの段にある立方体の個数は、
「(段の数)×(段の数)+(段の数-1)×(段の数-1)」と考えることができる。
8段までを表にすると、次のようになる。
このうち、黒のブロックは上から1、3、5、7段目にあるので、全部で1+13+41+85=140個、
白のブロックは上から2、4、6、8段目にあるので、全部で5+25+61+113=204個となる。
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