2020年に麻布中学校で出題された面白い面積問題

今日は、2020年に麻布中学校で出題された面白い面積問題を紹介します。

親子で挑戦してみてください！

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半径５cmの半円を,４つの直線によって５つの部分に分けます。
ここで,図のC,D,Eは直線ABを４等分する点です。

また,〇の印がついた４つの角の大きさはすべて45度です。
黄色の面積の和から水色の面積の和を引くと何cm²ですか。

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図１のように,補助線FDを引き,水色と黄色の部分を入れかえると,
図２のように,おうぎ形DAGとおうぎ形DFGの面積は等しくなります。

図１

図２

よって,求める黄色の面積の和から水色の面積の和を引いた面積は,
図３,四角形FHEBから直角三角形HDEを引いた面積になります。

図３

ここで,図４のように,直角三角形FDBは合同な小さな直角三角形８個に分割できるので,黄色の四角形FHEBは,小さな直角三角形６個分,水色の直角三角形HDEは,小さな直角三角形２個分になります。

図４

よって,黄色の四角形FHEBから水色の直角三角形HDEを引いた面積は,小さな直角三角形６－２＝４(個分)になることがわかります。

小さな直角三角形４個分の面積は,図５のように,直角三角形FDBの半分になるので,

図５

求める面積は

５×５÷２÷２＝6.25cm² ……(答え)

↑↑↑

直角三角形FDBの面積

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いかがでしたか？

パズル的な面白い問題でしたね！

本問は問題文に「円周率が与えられていない」ということがポイントで,「円の面積計算は必要ない」というヒントになっていると思います。

また最後の計算で、わたしは合同な直角三角形に分割して求めましたが、計算が多少面倒ですが、下記のように計算してもいいでしょう。

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