今日は、2012年に麻布中学校で出題された立体の体積問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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下図は１辺の長さが７cmの立方体です。
この立方体の面ABCDにおいて下図の灰色部の位置に面EFGHまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。ただし,図の点線は等間隔に引いてあります。
さらに,同じように面AEFBにおいて,下図灰色部の位置に面DHGCまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
(１） この穴のあいた立体の体積を求めなさい。
さらに,同じように面BFGCにおいて,下図灰色部の位置に面AEHDまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
(２） この立体の体積を求めなさい。
(2012年 麻布中学校)
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■解答・解説
(１）
底面に平行な平面で１cmきざみにこの立体を切ると,その上から見た切り口は,図１,２のようになります。(灰色部分が穴のあいた部分)
図１
図２
よって,この立体の奇数段目(１,３,５,７段目)の体積は,
図３より,
７×７×１－１×３＝46(cm3)
図３(高さは略) ↑1cm3の間違い
偶数段目の体積(２,４,６段目)は,図４より,
７×７×１－１×９＝40(cm3)
図４(高さは略) ↑1cm3の間違い
以上より,この立体の体積は,
46×４＋40×３
＝184＋120＝304(cm3) ……(答え)
(２）
上から４段目の側面に穴を３つあけると,４段目は図５のようになります。
図５
４段目の体積は,図６より,
７×７×1－１×25＝24(cm3)
図６(高さは略) ↑1cm3の間違い
よって,このときできる立体の体積は,
304－40＋24 ←(１)と４段目だけ違う
＝304－16＝288(cm3) ……(答え)
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