今日は、2018年に女子学院中学校で出題された整数問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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40枚のカードがあり,それぞれ下のように４色にぬりわけられています。
白い部分には２から41までの整数が,１つずつ書いてあります。
赤には白の数の約数の個数が書いてあります。
白の数を素数だけのかけ算で表したときの,２の個数が緑に,３の個数が青に,それぞれ書いてあります。
(１)
白に18と書いてあるカードの赤には「 」,緑には「 」,青には「 」と書いてあります。
(２)
赤に２と書いてあるカードは全部で「 」枚あり,そのうち,緑に１と書いてあるものは「 」枚あります。
(３)
赤に８,緑に１,青に１と書いてあるカードの白には「 」と書いてあります。
(2018年 女子学院中学校)
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■解答・解説
(１)
18の約数は１,２,３,６,９,18の６個なので,赤には「６ ……(答え)」と書いてあります。
素数だけのかけ算で表すと,
18＝２×３×３となり,２の個数は１で,３の個数は２だから,緑には「１ ……(答え)」,青には「２ ……(答え)」
と書いてあります。
(２)
赤に２と書かれるのは,白の数の約数が２個のとき(約数の個数参照)なので,白の数は素数とわかります。
※算数カード第３弾より
２から41までに,素数は２,３,５,７,11,13,17,19,23,29,31,37,41の13個あるので,赤に２と書いてあるカードは全部で「13(枚) ……(答え)」あります。
また,素数のうち,２の倍数は２しかありません。
よって,２を素数だけのかけ算で表すと,２の個数は１なので,赤に２と書いてあるカードのうち,緑に１と書いてあるのは,白に２と書いてあるカードの「１(枚) ……(答え)」だけとなります。
(３)
赤に８,緑に１,青に１と書いてあるとき,白の数の約数は８個あり,白の数を素数だけのかけ算で表すと,２と３は１個ずつあることがわかります。
ここで,例えば,白の数が,２と３は１個ずつある６だとすると,６の約数は１,２,３,６の４個だけになるので,条件に合いません。
よって,白の数を素数だけのかけ算で表すと,２と３以外の素数もあることがわかります。
２,３以外の素数を小さい数から考えていくと,
■２,３以外の素数が５の場合
白の数は,２×３×５＝30 となり,これは条件に合います。
■２,３以外の素数が７の場合
白の数は,２×３×７＝42 となり,白の数は２から41までの整数なので,条件に合いません。
これ以上大きい数の素数は,41をこえてしまいます。
よって,「30 ……(答え)」
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