今日は、2013年に女子学院中学校で出題された立体の表面積問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください!
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縦,横,高さの和が20cmの直方体があります。この直方体の高さを3cm長くしたら,表面積は84cm2大きくなりました。
さらに横を2cm長くしたら表面積は72cm2大きくなりました。
もとの直方体の体積を求めなさい。
ただし,表面積とは,すべての面の面積の和のことです。
(2013年 女子学院中学校)
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■解答・解説
もとの直方体の,縦の長さを●cm,横の長さを▲cm,高さを★cmとします。
直方体の高さを3cm長くしたら,表面積が84cm2大きくなったことより,
図1の緑色の2つの面の面積の和は,
84÷2=42(cm2)となります。
図1
図2より,
3×(▲+●)=42
図2
▲+●=14 ……①
また,縦,横,高さの和が20cmとなるので,
▲+●+★=20 ……②
①,②より,
14+★=20
★=6(cm)
次に,この状態から横を2cm長くすると,図3のようになります。
さらに横を2cm長くしたら表面積は72cm2大きくなったことより,図3の紫色の2つの面の面積の和は,
72÷2=36(cm2)となります。
図3
図4より,
2×(●+9)=36
●+9=18
●=9(cm)
①より,
▲=14-9=5(cm)
よって,もとの直方体の体積は,
9×5×6=270(cm3) ……(答え)
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