今日は、2017年に広尾学園中学校で出題された頂点間の長さの種類の個数を求める問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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下の図は正三角形と正方形です。まず,正三角形については,２つの頂点間の長さは辺の長さのみです。
同じように,正方形について考えると２つの頂点間の長さは辺の長さと対角線の長さの２種類です。
次の問いに答えなさい。
（１）
正五角形の２つの頂点間の長さは何種類あるか答えなさい。
（２）
２つの頂点間の長さが８種類あるような正多角形をすべて答えなさい。
（３）
正四面体は２つの頂点間の長さは１種類である。立方体は２つの頂点間の長さは何種類あるか答えなさい。
また,正三角形と正方形を何個か組み合わせてできる立体図形で,２つの頂点間の長さが２種類である立体図形をひとつ描きなさい。
ただし,どちらも使うこととします。
(2017年 広尾学園中学校)
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■解答・解説
(１)
図１のように正五角形の対角線の長さは１種類だけです。
図１
よって,正五角形の２つの頂点間の長さは,辺の長さ１種類と対角線の長さ１種類の合わせて,２種類 ……(答え)
(２)
正方形から正十一角形までの頂点間の長さを調べると,図２のようになります。
※ピンク線が対角線
図２
これらの関係を調べると,正N角形の２つの頂点間の長さは,
Nが偶数のときは, (N÷２)種類,
Nが奇数のときは, {(N－１)÷２}種類
となることがわかります。
よって,８種類あるような正多角形は,
□ Nが偶数のとき,
N÷２＝８より,
N＝８×２＝16
□ Nが奇数のとき,
(N一１)÷２＝８より,
N＝８×２＋1＝17
となるので,２つの頂点間の長さが８種類になるのは,
正十六角形と正十七角形 ……(答え)
とわかります。
(３)
図３のように,立方体には辺の長さ１種類と対角線の長さ２種類の合わせて,３種類の長さがあります。
(赤線が辺の長さ,緑線が対角線の長さ)
図３
また,正三角形と正方形だけを組み合わせてできる立体図形で,２つの頂点間の長さが２種類であるような図形は,たとえば図４のような図形が考えられます。
(赤線が辺の長さ,緑線が対角線の長さ)
図４
……(答え)
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