今日は、2017年に広尾学園中学校で出題された頂点間の長さの種類の個数を求める問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください!
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下の図は正三角形と正方形です。まず,正三角形については,2つの頂点間の長さは辺の長さのみです。
同じように,正方形について考えると2つの頂点間の長さは辺の長さと対角線の長さの2種類です。
次の問いに答えなさい。
(1)
正五角形の2つの頂点間の長さは何種類あるか答えなさい。
(2)
2つの頂点間の長さが8種類あるような正多角形をすべて答えなさい。
(3)
正四面体は2つの頂点間の長さは1種類である。立方体は2つの頂点間の長さは何種類あるか答えなさい。
また,正三角形と正方形を何個か組み合わせてできる立体図形で,2つの頂点間の長さが2種類である立体図形をひとつ描きなさい。
ただし,どちらも使うこととします。
(2017年 広尾学園中学校)
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■解答・解説
(1)
図1のように正五角形の対角線の長さは1種類だけです。
図1
よって,正五角形の2つの頂点間の長さは,辺の長さ1種類と対角線の長さ1種類の合わせて,2種類 ……(答え)
(2)
正方形から正十一角形までの頂点間の長さを調べると,図2のようになります。
※ピンク線が対角線
図2
これらの関係を調べると,正N角形の2つの頂点間の長さは,
Nが偶数のときは, (N÷2)種類,
Nが奇数のときは, {(N-1)÷2}種類
となることがわかります。
よって,8種類あるような正多角形は,
□ Nが偶数のとき,
N÷2=8より,
N=8×2=16
□ Nが奇数のとき,
(N一1)÷2=8より,
N=8×2+1=17
となるので,2つの頂点間の長さが8種類になるのは,
正十六角形と正十七角形 ……(答え)
とわかります。
(3)
図3のように,立方体には辺の長さ1種類と対角線の長さ2種類の合わせて,3種類の長さがあります。
(赤線が辺の長さ,緑線が対角線の長さ)
図3
また,正三角形と正方形だけを組み合わせてできる立体図形で,2つの頂点間の長さが2種類であるような図形は,たとえば図4のような図形が考えられます。
(赤線が辺の長さ,緑線が対角線の長さ)
図4
……(答え)
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