高校数学の入試基礎について，
「基礎テキスト」に沿って解説をしています。
※２０２４年度入試まで対応可
必要があれば教科書や網羅系参考書を用いて
確認するとよいでしょう。
その中の１つが「NEW ACTION LEGEND」です。
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３３．【相加平均と相乗平均】
表記についての補足
分数 B分のA・・・A／B（＝A÷B）
根号 ルートA・・・√A
〈基礎３２〉でも触れている
相加平均と相乗平均の関係。
A＞0，B＞0 のとき，
(A＋B)/2≧√(AB)
（等号はA＝Bのとき）が成り立つ。
（１）のような不等式の証明でも
用いられるが，
入試では（２）のような
最大・最小問題で頻出である。
このとき，
A＋B≧2√(AB)
と考えて用いることが多い。
x＞0 のとき，
y＝x＋1/x の最小値は？
相加平均と相乗平均の関係により
y＝x＋1/x≧2√(x・1/x)＝2
等号成立は x＝1/x より x＝1
したがって，最小値は2である。
不等式の適用によって
2未満の値はとり得ないことがわかり。
等号成立の確認によって
2という値をとり得ることがわかった。
これにより最小値2が確定する。
入試において
この不等式を「いつ使うか？」
がポイントとなる。
２つのものがともに正の値をとり
積が定数となるときに使える。
教材作成の際，
無作為に忍び込ませておくのだが，
慣れてくると
「これ相加相乗でしょ！」
と自然に気づけるようになってくる。
おまけ（発展）
x＞0，y＞0，xy＝4 のとき
x＋y の最小値を求めよ。
〈基礎４２〉の内容だが
２変数関数の最大・最小問題。
１変数を消去すれば
相加平均と相乗平均の関係が使える。
（先に相加平均と相乗平均の関係を用いてもよい。）
また，x＋y＝k とおけば，
反比例のグラフ（双曲線）と直線が
共有点をもつ条件を考えることで解ける。
実際には
y を消去した x の２次方程式の
実数解存在条件を考えることで解くことになる。
２変数関数の最大・最小については
以下の記事（PDF資料）でも触れています。
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