∫[α→β]1/√{(x-α)(β-x)} dx
の値
x-α=t
と置換
x=t+α
∫[0→β-α]1/√{t(β-α-t)} dt
=∫[0→γ]1/√{t(γ-t)} dt
β-α=γ と書いた.
√t= u とおく
t=u²
du/dt=1/(2√t)=1/(2u)
du=1/(2u) dt
dt=2u du
∫[0→√γ ]1/{u√(γ-u²)} 2u du
=∫[0→√γ ]2/{√(γ-u²)} du
ここで、
u=√γ sinθ と置換
du/dθ=√γ cosθ
du=√γ cosθ dθ
∫[0→π/2 ]2/{√(γ-γsin²θ)} √γ cosθ dθ
=∫[0→π/2 ]2/{√(γcos²θ)} √γ cosθ dθ
=∫[0→π/2 ]2 dθ
=π
∫[α→β]√{(x-α)(β-x)} dx
の値
x-α=t
と置換
x=t+α
∫[0→β-α]√{t(β-α-t)} dt
=∫[0→γ]√{t(γ-t)} dt
β-α=γ と書いた.
√t= u とおく
t=u²
du/dt=1/(2√t)=1/(2u)
du=1/(2u) dt
dt=2u du
∫[0→√γ ]{u√(γ-u²)} 2u du
=∫[0→√γ ]2u²√(γ-u²)} du
ここで、
u=√γ sinθ と置換
du/dθ=√γ cosθ
du=√γ cosθ dθ
∫[0→π/2 ]2{γsin²θ√(γ-γsin²θ)} √γ cosθ dθ
=∫[0→π/2 ]2γsin²θ{√(γcos²θ)} √γ cosθ dθ
=∫[0→π/2 ]2γ²sin²θcos²θ dθ
=∫[0→π/2 ]2γ²(sinθcosθ)²dθ
=∫[0→π/2 ]2γ²((1/2)sin2θ)²dθ
=∫[0→π/2 ](1/2)γ²(sin2θ)²dθ
=∫[0→π/2 ](1/4)γ²(1-cos(4θ))dθ
=(1/4)γ²∫[0→π/2 ](1-cos(4θ))dθ
=(1/4)γ²(θ-(1/4)sin(4θ))[0→π/2 ]
=γ²(π/8)
=(β-α)²π/8
