高校数学及び大学数学の気になる問題とその解法を明記します。
以前 の下記の投稿で、∫x^nlog(cos x) dx 0→π/2 の値を求めた。今度は、0→π/4 の値を求める。『ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関数）を使った問題』ポリ対数関数（ポリログ）（多重対数関数ともいう）を使って解きたいと思う.ポリログの定義 を使って∫[0,π/2]log(sinx)dx ，∫[0,π/…ameblo.jp以下同様なことをくりかえします。∫x^n log(sinx )dx の場合は，sinx =1/2i(e^(ix)-e^(-ix)) を使うことによって、上記の方法を使ってできます。結論だけ紹介します。
ゼータ関数 の s=3 の値は、アペリーの定数と呼ばれる。これは、アペリーによって、1977年に無理数であることが証明された。しかし，ζ(5)やζ(7) といったその他の正の奇数の値については、あまり研究もすすんでいないようで、無理数であるかどうかも証明されていないようだ。そこで、ゼータ関数を連分数展開することによって、無理数であることが証明できるのではないかと考えた。まず以下の分数和を計算してみる。次に以下の分数和を計算してみる４つの項の分数和では、以下のようになる。これが、無限に続くと以下のようになると思う。これを使うと例えば，π/4の場合となることがわかっているので， を得ることができる。また，log2 の値に関してもであるので，と表すことができる。そこで，ゼータ関数の交代級数を考える。この交代級数をゼータ関数使ってあらわそう。と表現できるので，とする。そして、ゼータ関数を として、①ー②を計算するよってとなるので、と表現できる。したがって、 となり、ゼータ関数を連分数に展開できることがわかった。たとえばと近似計算できる。循環しない無限連分数展開は有理数ではないことを証明することによってζ(5)やその他のζ(正の奇数）の値が、無理数であることが証明できると思う。一般に循環する連分数は、２次方程式の解であることが証明されてる。二次方程式の解は，有理数である場合もあるので、例えば、このように，循環しても有理数になる場合もある。しかし、循環しない無限連分数は、有理数ではないと思われる。その正式な証明は、すでにあるかどうかわからないが、その証明があるとそれば、長年未解決だったζ(5)が無理数であることの証明は可能ではないだろうか。
前半のつづきです。
後半に続く。
の値をも求めます。最初は三角関数の公式を使って以下のように変形します。sin²x+cos²x=1 の両辺を2乗してsin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x=1だからsin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x....①2倍角の公式 sin(2x)=2sinxcosx の両辺を2乗するとsin²(2x)=4sin²xcos²x ...②①②を使うとsin⁴x+cos⁴x=1-1/2in²(2x)になります。したがっての値を求まればいいです。＜別解１＞なぜ、tan^(-1)(1+√2)が、3π/8 なのかはこの図を見てください。底辺が１で高さが1+√2 の直角三角形の底辺に対する斜辺の角度が67.5°=3π/8 です。つぎにtan^(-1)(√2-1)=π/8 の理由も次の図をみてください。底辺が1+√2で高さが1の直角三角形の底辺に対する斜辺の角度は22.5°=π/8 です。また、以下のようにあtan^(-1)の加法定理を使ってもいけます。＜別解２＞＜同じく複素積分で、留数定理を使ったやり方＞同様な計算を他の３つの留数に対して行うとすべて1/4 になります。最後に複素数への置換積分をやります。これは複素積分とは違います。 以上です。
三角関数の積分のとき、t=tan(x/2) と置換することを「ワイエルシュトラス置換」といいます。「半角正弦置換」とも言うようです。その置換の様子を図で表すと以下のような単位円で 円周上の点はｙ軸上に移ることになります。実際にどうやって変換するかというとよく知られている式変形は以下のようなものです。また、計算はちょっと複雑ですが、sinxへの変換は、以下のようにしてもいいと思います。複素数を使っての変換をやってみました。おそらくこの変換の仕方は、あまり知られてはいないと思います。
久々の投稿になります。 いろいろあって、ぜんぜん更新しませんでした。2023年の最後の投稿です。を証明してみよう。意外と簡単にできます。 しかし、別な方法で証明すると、面白い積分がでてくるので紹介します。これを2乗して dx にくっつける よって次に、 を求めよう。次に を求めると。次によって 以下の２つの式が導かれました。この2式を足すと上式から下式をひくとn=2024 のときは、となりますね。それでは、よいお年を！ 2023年も終わりです。
以下同様な計算をするとこれらを整理するとが成り立つことがわかる.ζ(-1)=-1/12, ζ(-2)=0, ζ(-3)=1/120, ζ(-4)=0, ζ(-5)=-1/252 であるので,解析接続されたゼータ関数の特殊値と一致した数は現れる。すなわち,という関係式が成り立つ.これを変形するととなる.具体的な値を求めると以下のようになる。
以下のような2重積分を計算してみました。(1)２通りのやり方で行います。もう一つのやり方を示します。したがってこの値は、となります。この考え方は以下のようにシンプルにやることもできます。今度は３重積分です。⑵ この積分も２通りで行います。この被積分関数は以下のようになるのでしたがって、もう一つのやり方つづいて４重積分(3)よって別なやり方ではとなります。このような結果から、帰納的に考えるとこのΣで書かれたものはディラックのイータ関数と呼ばれるもので、と定義されます。 これは n≧1 のときに収束した値を持ちます。k=1 のときは、log 2 になります。また、ゼータ関数 (これは n≧2 のときに収束した値を持つ）との関係式をつくるとを以下のよう変形すると下線部にゼータ関数が出てくるのでとして ②×2- ①を計算するとまた、下線部にゼータ関数が出てくるのでとなります。したがってが成り立ち，以下のようなゼータ関数に関する積分形式がも求まります。もっと単純にすれば であるので、となります。
『二重積分をして、偶然に発見された公式(その１）』以下のような log 2 を求める公式を発見しました。どうやって発見したのかを記載します。以下のような問題を解いていました。それぞれの解答は以下のように…ameblo.jpこの続きです。以下の式を発見した。＜証明＞次の２重積分を求める。次によって、以下の積分が求まる。この結果を使って
以下のような log 2 を求める公式を発見しました。どうやって発見したのかを記載します。以下のような問題を解いていました。それぞれの解答は以下のようになります。<別解＞おまけに もう一問別解これらの計算結果より、帰納的に以下のような公式が成り立つと予想できる。その２に続く。『二重積分して、偶然発見された公式（その２）』以下の式を発見した。＜証明＞次の２重積分を求める。次によって、以下の積分が求まる。この結果を使ってameblo.jpその２では、ちゃんと証明していきます。
その１『 偏微分方程式の基本問題(その１）』次の５つの偏微分方程式の一般解を求めてみよう．ameblo.jpの続き。
次の５つの偏微分方程式の一般解を求めてみよう．その２『偏微分方程式の基本問題（その２）』その１『 偏微分方程式の基本問題(その１）』次の５つの偏微分方程式の一般解を求めてみよう．am…ameblo.jpに続く
以前、『変分法による最速下降曲線の求め方』PからQ まで，ある曲線 y=f(x) にそって，重力の影響で落ちる物体の運動を考える．一番早く，下部まで到達する曲線は、どのようなものかを考察する．…ameblo.jpこのブログで、最速下降曲線がサイクロイドであることを証明したが、今回は、その等時性について数学的に証明する。この定積分が、θ₁の値によらずに一定になることを示せばいい。数学の二つの心Amazon（アマゾン）771〜4,400円チャート式シリーズ 大学教養 微分積分の基礎 (チャート式・シリーズ)Amazon（アマゾン）2,011〜7,080円
これはランベルトのW関数を使って解くことができる。ランベルトのW関数 - Wikipediaja.wikipedia.orgこのブログでも過去に2回、このW関数が登場した。『x^x=3 の解法』を 「x= 」の形に変形することを考えるグラフを書くと，以下のように x=1.825... あたりが解になる.初等関数では表すことができなく，ランベ…ameblo.jp『3x³=4ˣ の解』3x³=4ˣ の解y=3x³ と y=4ˣ のグラフを書くと、次のように２点が求まる。ということは、この解は２つあるということなので、それがどのよ…ameblo.jp上記を参考にして、今回も同じように解いてみた。数学の二つの心Amazon（アマゾン）771〜4,400円
また，sが正の場合でも次のような結果をえる．このような定積分の値がもとまったが，単独の計算で，例えばの値を証明することは可能だろうか？ それにしても ゼータ関数の解析接続がこのような積分形式で表せることが発見できたことは有意義であった．
『プラナの総和公式（その３）』『プラナの総和公式（その１）』この議論をすすめるにあたって，複素平面での積分を考えることにしよう．留数を求めていく．…ameblo.jp「その３」で以下のような公式を導いた．この広義積分は，どうやら発散するようである． プラナの公式の条件には適用されないようだ．しかし，そのまま議論をすすめていこうと思う．オイラー定数 γ は，単独では発散してしまう２つの量 n→∞ にしたときの 1+1/2+1/3+...1/n と log n の差として与えられる数値であるが，これが，プラナの公式が使える第２の条件にはあてはまらない理由なのだろうか？ともかく，この結果より，以下の積分値が求まる．
『プラナの総和公式（その１）』この議論をすすめるにあたって，複素平面での積分を考えることにしよう．留数を求めていく．以上の考察より以下のことがわかる…ameblo.jpここで求めた公式の条件という条件が、きびしいので、あまり有用性がないので、もう少しゆるい条件で考えてみよう次に，積分経路を変えて考えてみる．留数を求める．以上の考察より以下のことが言える 「プラナの総和公式」という
『プラナの総和公式（その１）』この議論をすすめるにあたって，複素平面での積分を考えることにしよう．留数を求めていく．以上の考察より以下のことがわかる…ameblo.jp （その１）で使った公式を使って具体的な問題をいくつか解いてみよう．この公式を使う．この左辺は，トリガンマ関数の形になっている．『トリガンマ関数の特殊値 とその応用例』参考 『π²/sin²(πx)=Σ[n=-∞→∞]1/(x-n)² の証明』π²/sin²(πx)=Σ[n=-∞→∞]1/(x-n)² =1/x²+1/(…ameblo.jp
この議論をすすめるにあたって，複素平面での積分を考えることにしよう．留数を求めていく．以上の考察より以下のことがわかる．
![∫[0,π/2]1/(sin³x+cos³x)dx の値 （後半)の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20240110/19/titchmarsh/13/d8/p/o1588095815387952080.png?cpd=100)
![∫[0,π/2]1/(sin³x+cos³x)dx の値 （前半)の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20240110/19/titchmarsh/fc/77/p/o0660016615387936793.png?cpd=100)
