てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室

多重対数関数を使用した積分問題

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ガンマ関数を無限和で表す

ガンマ関数は、一般的に以下の３つの形で定義されている。❶は積分形式、❷と❸は無限積の形である。そこで、無限和の形もできるのではないかと考えた。そんなに難しくはなく、❷の形を分数和だけにすればできることがわかった。まずは、❷を♾️にするのでは、なく次のように定義する。一般的に以下のような計算を試みる。n=0のときn=1 のときn=2のときn=3のときnのときよってこの結果を最初に定義したΓn に適用するととなる。例えば　n=4のときとなる。nを♾️ にもっていけば、❷の形のガンマ関数と同値になる。したがって、以下のような無限和でガンマ関数を定義することができる。

ガンマ余弦関数(仮称) g(x)=Γ(x)cos(πx/2) の定義

前回のブログで　ガンマ正弦関数(仮称) f(x)=Γ(x)sin(πx/2) を定義しました。『ガンマ正弦関数(仮称) f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の定義』既存のガンマ関数Γ(s) と三角関数のsin(πs/2) をつかって、新しい関数を定義してみました。sinの方を単純にsin x とはせずに、sin(πs/…ameblo.jp引き続き、cos にしたものを定義します。f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の　s=0 の値，前回のブログの結果を使っています。グラフはこんな感じになります。/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////仮称「ガンマ正弦関数」　f(s)=Γ(s)sin(πs/2) と　仮称「ガンマ余弦関数」　f(s)=Γ(s)cos(πs/2)を勝手につくりましたが、なんらかの応用ができないかを考えています。

ガンマ正弦関数(仮称) f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の定義

既存のガンマ関数Γ(s) と三角関数のsin(πs/2) をつかって、新しい関数を定義してみました。sinの方を単純にsin x とはせずに、sin(πs/2)　としたのは、その方が単純になるからです。まずは、以下のような複素積分を用いて、関数をみつけました。実は７年半前に　この複素積分はここで書いています。『∫[0→∞]sin(x^n)dxの値　』∫[0→∞]sin(x^n)dxの値を求めるにあたって、「メリン変換」F(z)=∫[0→∞]f(t)t^(z-1) dt　を使う。F(z)=∫[0→∞]f(t…ameblo.jpこの関数は、グラフになります。特異点は, x=-1,-3,-5 になっています。普通のガンマ関数　y=Γ(x) のグラフは　以下のようなものです。　x=0,-1,-2,-3,-4,-5,-6 が特異点になっています。/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////この「ガンマ正弦関数」は、すでに誰かがつくって活用しているかどうかは不明である。続編↓『ガンマ余弦関数(仮称) g(x)=Γ(x)cos(πx/2) の定義』前回のブログで　ガンマ正弦関数(仮称) f(x)=Γ(x)sin(πx/2) を定義しました。引き続き、cos にしたものを定義します。f(s)=Γ(…ameblo.jp

∫[0→∞] (logx)(sinx)/x dx について

前回のブログ内容『∫[0→∞](logx)(sinx)/x^s dx について』フレネル積分https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12143112168.htmlを参考にして…ameblo.jpこの最後で示した　以下の値を求めよう。※ この　f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の証明は，フレネル積分https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12143112168.html及び『ガンマ正弦関数(仮称) f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の定義』既存のガンマ関数Γ(s) と三角関数のsin(πs/2) をつかって、新しい関数を定義してみました。sinの方を単純にsin x とはせずに、sin(πs/…ameblo.jpに書いています。この証明は，sを0に近づけるにあたって、数学的な厳密性に欠けると思われるが、なんとか解答にたどり着いた次第である。

∫[0→∞](logx)(sinx)/x^s dx について

フレネル積分https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12143112168.html及び　『ガンマ正弦関数(仮称) f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の定義』既存のガンマ関数Γ(s) と三角関数のsin(πs/2) をつかって、新しい関数を定義してみました。sinの方を単純にsin x とはせずに、sin(πs/…ameblo.jpを参考にしてこの関係式の右辺の積分よってs≠1 で収束条件は，0<s<2 になります。収束条件は、0<s<1 になります。まとめ＜別解＞　複素積分を使わずに簡単にできました。この❷式は，先ほどのリンク先のフレネル積分の結果を使っています。前述した証明の「まとめ」の式で、sをs-1 に変えれば、同じ式になります。これらの公式を使って、具体的な値を求めてみます。最初の「まとめ」のsin 公式で s=3/2 を使って最初の「まとめ」のcosの公式で　s=2/3 を使って「別解」で求めたcos 公式を使って//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////の値を求めようと思ったが、最初の公式では, s=1 が特異点になるために、使えない。２番目の公式もガンマ関数Γ(s) が　s=0 で特異点になるために使えないことがわかった。次回のブログにその証明を載せたいと思う。『∫[0→∞] (logx)(sinx)/x dx について』前回のブログ内容の最後で示した　以下の値を求めよう。※ この　f(s)=Γ(s)sin(πs/2) の証明は，フレネル積分https://ame…ameblo.jp

∫log(x+1)/x dx について

この２つの関係式を証明する。////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////実は、ここで定義した関数L(x) は、多重対数関数Li2(x) である。また、　xは実数ではなくとも複素数でも成り立つことがわかっている。その場合も収束した値を持つためには、　A式は、|z|≦1 　B式は、|z|≧1 である。

Σ[n=1〜∞](1/2)ⁿ(1/n²) の値

の値を求める。//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////別解　　多重対数関数（ポリログ）の知識を使うs=2 のとき，ポリログは次の積分で表されることがわかっている。z=1/2 と　z=1 を代入するこの②の左辺の積分値を求める。

∫[0,1]x^m(arctan x)^n dx の値

部分積分を実行x=0のとき　t=0x=1のとき　t=π/4n=1〜5, m=1〜5 の値を求めていこうと思う。ここで、前回の内容『∫[0,π/4]x^p (tan x)^n dx の値』p,n を正の整数とする。参照『∫ (tan x)^n dx について』積分定数を省略して具体的な値を求めるこの公式を使って…ameblo.jpこの結果を使って　以下の値を求めておく　　この関係式を使って、具体的な値を求めていく。また，この値は，違う方法でも求めることができる。

∫[0,π/4]x^p (tan x)^n dx の値

p,n を正の整数とする。参照『∫ (tan x)^n dx について』積分定数を省略して具体的な値を求めるこの公式を使って，定積分　0→π/4 を計算すると以下のようになる。ameblo.jpnが偶数のとき　　(n=2m)　　　 部分積分を実行よってこの❶の式で、mをm+1 に書き換えるとnが奇数のとき(n=2m+1)　　部分積分を実行よって　の❸の式で、mをm-1に書き換えるとp=1〜5 の具体的な値を求める。この初期値を含めた具体的値を求めるために，以下の結果を使う。参照『∫x^nlog(cos x) dx 0→π/4 の値』以前　の下記の投稿で、∫x^nlog(cos x) dx 0→π/2 の値を求めた。今度は、0→π/4 の値を求める。『ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関…ameblo.jp今、求めた漸化式から興味深いことがわかる。m=2s としてみる。すなわち、n=4m-1, n=4m+1 の場合という右辺は有理数になる関係式ができる。具体的な例を示そう。つづいて、p=1で　　n=2m+1 のときこの漸化式を使って、p＝１のときの一般項を求めよう。これに初期値を代入してm=0〜4 で具体的な値を求めてみようm=0〜5 で具体的な値を求めてみようp=1 の場合をまとめると以下のようになる。このようにして、p=2,3,4,5 の場合を計算してみた。計算量が膨大になってしまって、この紙面では紹介しきれないので結果だけ示す。このように　pの値が大きくなるほど、Σが重なってきて、とても複雑になるのだ。この結果を使って、p=2,3,4 の具体的な値は次のようになった。

∫[0,1](arctan x)^n dx について

n=1〜5 の値を求める。この値を求めるにあたって、次の値を使う『∫x^nlog(cos x) dx 0→π/4 の値』以前　の下記の投稿で、∫x^nlog(cos x) dx 0→π/2 の値を求めた。今度は、0→π/4 の値を求める。『ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関…ameblo.jp参照この関係式の右辺の積分についてであるので、p=n-1とすればしたがって　以下の関係式が成り立つ。n=2〜5 でn=1のときn=2のときn =3のときn=4のときn=5のときまとめ

∫ (tan x)^n dx について

積分定数を省略して具体的な値を求めるこの公式を使って，定積分　0→π/4 を計算すると以下のようになる。

不定積分　∫x/(1-e^kix) dx 　の３通りの値

一般に不定積分は、積分定数があるために、その表記は１通りとは限らない．その顕著な例を示す．kは正の実数とする．

不定積分　∫x/(tanx ) dx（様々な表記　8月5日追加)

この２つ積分をするポリ対数関数（多重対数関数）　ポリログの知識を使うよって、最初に求めたい不定積分の値は以下のようになる。以上の考察よりこのようにポリログを使うことによって不定積分ができる。参照　『不定積分　∫x/(1-e^kix) dx 　の３通りの値』一般に不定積分は、積分定数があるために、その表記は１通りとは限らない．その顕著な例を示す．kは正の実数とする．…ameblo.jpこのように不定積分は、積分定数の関係で、一般的に様々な表記がある。参考 2021年5月に以下の投稿をしている定積分の値『∫[0,π/4] (x/tanx)dx の値』を利用します.『∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値』∫[0→π/2] θ/(tanθ) dθ　の値【公式】∫[α→β]f(sinθ,cosθ…ameblo.jpこの値は、　であった。　同じ値になるか確かめてみる。①②③ すべて同じ値になった。ポリログの特殊値について//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////ポリログの関係式（解析接続された関係式）z=-i を代入して

∫[0,π/4]x^n log (sinx)dx の値

∫[0,π/4]x^p/(tanx)^n dx の値

p,nが負数ではないの整数での値を求める．　p≧n のとき，収束値を持つ．∫1/(tan x)^n dx の結果を使う以前のブログに書いた『不定積分 ∫(cotx)^n dx』の不定積分を求めよう．///////////////////////////////////////////////////…ameblo.jpこの結果を使う。この不定積分を使ってp=1のときm=0のとき，ここで，　前回のブログでまとめた以下の値を使う。をつかってp=2のときm=0のときm=1 のときp=3のときm=0のときm=1のときp=4のときm=0のときm=1のときよってm=2 のときよってp=5のときm=0のときm=1のときよってm=2のときを代入してよって結果のまとめの値を使って、検証済み

∫x^nlog(cos x) dx 0→π/4 の値

以前　の下記の投稿で、∫x^nlog(cos x) dx 0→π/2 の値を求めた。今度は、0→π/4 の値を求める。『ポリ対数関数（ポリログ：多重対数関数）を使った問題』ポリ対数関数（ポリログ）（多重対数関数ともいう）を使って解きたいと思う.ポリログの定義　を使って∫[0,π/2]log(sinx)dx ，∫[0,π/…ameblo.jp以下同様なことをくりかえします。∫x^n log(sinx )dx の場合は，sinx =1/2i(e^(ix)-e^(-ix)) を使うことによって、上記の方法を使ってできます。『∫[0,π/4]x^n log (sinx)dx の値』ameblo.jpここをみてください。以下のような値になります。

ゼータ関数の連分数展開からわかるζ(5)が無理数であることの証明

ゼータ関数　の　s=3 の値は、アペリーの定数と呼ばれる。これは、アペリーによって、1977年に無理数であることが証明された。しかし，ζ(5)やζ(7) といったその他の正の奇数の値については、あまり研究もすすんでいないようで、無理数であるかどうかも証明されていないようだ。そこで、ゼータ関数を連分数展開することによって、無理数であることが証明できるのではないかと考えた。まず以下の分数和を計算してみる。次に以下の分数和を計算してみる４つの項の分数和では、以下のようになる。これが、無限に続くと以下のようになると思う。これを使うと例えば，π/4の場合となることがわかっているので，　を得ることができる。また，log2 の値に関してもであるので，と表すことができる。そこで，ゼータ関数の交代級数を考える。この交代級数をゼータ関数使ってあらわそう。と表現できるので，とする。そして、ゼータ関数を　として、①ー②を計算するよってとなるので、と表現できる。したがって、　となり、ゼータ関数を連分数に展開できることがわかった。たとえばと近似計算できる。循環しない無限連分数展開は有理数ではないことを証明することによってζ(5)やその他のζ(正の奇数）の値が、無理数であることが証明できると思う。一般に循環する連分数は、２次方程式の解であることが証明されてる。二次方程式の解は，有理数である場合もあるので、例えば、このように，循環しても有理数になる場合もある。しかし、循環しない無限連分数は、有理数ではないと思われる。その正式な証明は、すでにあるかどうかわからないが、その証明があるとそれば、長年未解決だったζ(5)が無理数であることの証明は可能ではないだろうか。

∫[0,π/2]1/(sin³x+cos³x)dx の値　（後半)

前半のつづきです。

∫[0,π/2]1/(sin³x+cos³x)dx の値　（前半)

後半に続く。