ゼータ関数
の s=3 の値は、アペリーの定数と呼ばれる。
これは、アペリーによって、1977年に無理数であることが証明された。
しかし，ζ(5)やζ(7) といったその他の正の奇数の値については、あまり研究もすすんでいないようで、無理数であるかどうかも証明されていないようだ。
そこで、ゼータ関数を連分数展開することによって、無理数であることが証明できるのではないかと考えた。
まず以下の分数和を計算してみる。
次に以下の分数和を計算してみる
４つの項の分数和では、以下のようになる。
これが、無限に続くと以下のようになると思う。
これを使うと例えば，π/4の場合
となることがわかっているので，
を得ることができる。
また，log2 の値に関しても
であるので，
と表すことができる。
そこで，ゼータ関数の交代級数を考える。
この交代級数をゼータ関数使ってあらわそう。
と表現できるので，
とする。
そして、ゼータ関数を
として、①ー②を計算する
よって
となるので、
と表現できる。
したがって、
となり、ゼータ関数を連分数に展開できることがわかった。
たとえば
と近似計算できる。
循環しない無限連分数展開は有理数ではないことを証明することによってζ(5)やその他のζ(正の奇数）の値が、
無理数であることが証明できると思う。
一般に循環する連分数は、２次方程式の解であることが証明されてる。
二次方程式の解は，有理数である場合もあるので、例えば、
このように，循環しても有理数になる場合もある。
しかし、循環しない無限連分数は、有理数ではないと思われる。
その正式な証明は、すでにあるかどうかわからないが、その証明があるとそれば、長年未解決だったζ(5)が無理数であることの証明は可能ではないだろうか。